Страница 62 номер 94, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Среднее арифметическое данного набора чисел равно 2,5, а медиана равна 3. Все числа данного набора умножили на 8. Найдите: а) среднее арифметическое нового набора; б) медиану нового набора.
а) Пусть в наборе \(n\) чисел. Среднее арифметическое равно 2,5, поэтому сумма чисел равна \(2{,}5n\). После умножения каждого числа на 8 сумма стала равна \(8 \cdot 2{,}5n = 20n\), а количество чисел не изменилось. Среднее арифметическое нового набора: \[\frac{20n}{n} = 20.\]
б) Число 8 положительное, поэтому порядок чисел не меняется: на каждом месте упорядоченного набора стоит прежнее число, умноженное на 8. Если медиана — число посередине упорядоченного набора, то оно умножилось на 8. Если медиана — среднее арифметическое двух чисел посередине \(a\) и \(b\), то новая медиана равна \(\frac{8a + 8b}{2} = 8 \cdot \frac{a + b}{2}\), то есть тоже умножилась на 8.
\(3 \cdot 8 = 24\) — медиана нового набора.
Ответ: а) 20; б) 24.
Среднее арифметическое данного набора чисел равно 2,5, а медиана равна 3. Все числа данного набора умножили на 8. Найдите: а) среднее арифметическое нового набора; б) медиану нового набора.
а) Пусть в наборе \(n\) чисел. Среднее арифметическое равно 2,5, поэтому сумма чисел равна \(2{,}5n\). После умножения каждого числа на 8 сумма тоже умножилась на 8 и стала равна \(8 \cdot 2{,}5n = 20n\), а количество чисел не изменилось. Среднее арифметическое нового набора: \[\frac{20n}{n} = 20.\]
б) Число 8 положительное, поэтому после умножения на 8 большее число остаётся большим: порядок чисел не меняется, и на каждом месте упорядоченного набора стоит прежнее число, умноженное на 8. Если медиана — число посередине упорядоченного набора, то оно умножилось на 8. Если медиана — среднее арифметическое двух чисел посередине \(a\) и \(b\), то новая медиана равна \(\frac{8a + 8b}{2} = 8 \cdot \frac{a + b}{2}\), то есть тоже умножилась на 8. Значит, медиана нового набора равна \(3 \cdot 8 = 24\).
Ответ: а) 20; б) 24.
