Вопросы после параграфа §14 на странице 71, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 1

Среднее гармоническое набора положительных чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — это количество чисел \(n\), делённое на сумму чисел, обратных данным: \[\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}.\]

Например, среднее гармоническое чисел 2, 3 и 6 равно \[\frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{3}{\frac{3 + 2 + 1}{6}} = 3.\]

Ответ: среднее гармоническое набора положительных чисел — количество чисел, делённое на сумму чисел, обратных данным.

Среднее геометрическое набора положительных чисел \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) — это корень степени \(n\) из их произведения: \(\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\), то есть такое положительное число, \(n\)-я степень которого равна произведению данных чисел. Например, среднее геометрическое чисел 2, 4 и 8 равно \(\sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 8} = \sqrt[3]{64} = 4\), так как \(4^3 = 64\).

Ответ: среднее геометрическое набора из \(n\) положительных чисел — корень степени \(n\) из их произведения.

Среднее гармоническое применяют, например, к скоростям движения на участках пути одинаковой длины: средняя скорость на всём пути равна среднему гармоническому этих скоростей. Если половину пути велосипедист ехал со скоростью 10 км/ч, а вторую половину — со скоростью 15 км/ч, то его средняя скорость равна \[\frac{2}{\frac{1}{10} + \frac{1}{15}} = \frac{2}{\frac{5}{30}} = \frac{2 \cdot 30}{5} = 12 \text{ (км/ч)}.\]

Другой пример — затраты нескольких заводов на производство единицы одинаковой продукции: если каждый завод вкладывает в производство одну и ту же сумму, то средние затраты на единицу продукции равны среднему гармоническому затрат заводов.

Среднее геометрическое применяют к коэффициентам, которые выражают относительное изменение величины: к ежегодным коэффициентам изменения цены товара, к коэффициентам роста вклада при разных годовых ставках. Например, если цена за первый год выросла на \(60\,\%\), а за второй снизилась на \(10\,\%\), то коэффициенты изменения цены равны \(1{,}6\) и \(0{,}9\). Средний коэффициент \(k\) — такое положительное число, что \(k^2 = 1{,}6 \cdot 0{,}9 = 1{,}44\), то есть \(k = 1{,}2\): в среднем цена росла на \(20\,\%\) в год.

Ответ: среднее гармоническое — для скоростей на участках пути одинаковой длины и для затрат на производство единицы продукции; среднее геометрическое — для коэффициентов изменения цены или роста вклада за несколько лет.