Страница 62 номер 93, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Дан числовой набор. К каждому числу этого набора прибавили число 4. а) Как изменилось среднее арифметическое этого набора? б) Как изменилась медиана этого набора?
а) Пусть в наборе \(n\) чисел и их сумма равна \(S\); тогда среднее арифметическое равно \(\frac{S}{n}\). После прибавления числа 4 к каждому из \(n\) чисел сумма увеличилась на \(4n\), а количество чисел не изменилось. Новое среднее арифметическое: \[\frac{S + 4n}{n} = \frac{S}{n} + 4.\] Значит, среднее арифметическое увеличилось на 4.
б) От прибавления одного и того же числа порядок чисел не меняется, поэтому на каждом месте упорядоченного набора стоит прежнее число, увеличенное на 4. Если количество чисел нечётно, медиана — число посередине упорядоченного набора, и оно увеличилось на 4. Если количество чисел чётно, медиана — среднее арифметическое двух чисел посередине \(a\) и \(b\); новая медиана: \[\frac{(a + 4) + (b + 4)}{2} = \frac{a + b}{2} + 4.\] В обоих случаях медиана увеличилась на 4.
Ответ: а) среднее арифметическое увеличилось на 4; б) медиана увеличилась на 4.
Дан числовой набор. К каждому числу этого набора прибавили число 4. а) Как изменилось среднее арифметическое этого набора? б) Как изменилась медиана этого набора?
а) Пусть в наборе \(n\) чисел и их сумма равна \(S\); тогда среднее арифметическое равно \(\frac{S}{n}\). После прибавления числа 4 к каждому из \(n\) чисел сумма увеличилась на \(4n\), а количество чисел не изменилось. Новое среднее арифметическое: \[\frac{S + 4n}{n} = \frac{S}{n} + 4.\] Значит, среднее арифметическое увеличилось на 4.
б) От прибавления одного и того же числа порядок чисел не меняется: большее число остаётся большим. Поэтому на каждом месте упорядоченного набора стоит прежнее число, увеличенное на 4. Если количество чисел нечётно, медиана — число посередине упорядоченного набора, и оно увеличилось на 4. Если количество чисел чётно, медиана — среднее арифметическое двух чисел посередине; если это были числа \(a\) и \(b\), то медиана была равна \(\frac{a + b}{2}\), а стала равна \[\frac{(a + 4) + (b + 4)}{2} = \frac{a + b}{2} + 4.\] В обоих случаях медиана увеличилась на 4.
Ответ: а) среднее арифметическое увеличилось на 4; б) медиана увеличилась на 4.
