Страница 67 номер 112, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 1 часть. Углубленный уровень
Наименьшее значение набора равно \(m\), наибольшее значение равно \(M\). Каждое число набора умножили на одно и то же число \(b\). Найдите наименьшее и наибольшее значения получившегося набора, если: а) \(b > 0\); б) \(b < 0\).
Пусть \(X\) — данный набор, \(\min X = m\), \(\max X = M\), а \(Y\) — набор, который получился после умножения каждого числа на \(b\).
а) Если два числа умножить на одно и то же положительное число, то большее из них останется большим, поэтому порядок чисел набора не меняется: \(\min Y = bm\), \(\max Y = bM\).
б) Пусть \(b = -c\), где \(c > 0\). Умножить число на \(b\) — то же, что умножить его на положительное число \(c\) и взять противоположное число. После умножения на \(c\) порядок чисел не меняется: наименьшим будет число \(cm\), наибольшим — \(cM\). У противоположных чисел порядок обратный, поэтому наименьшим станет число \(-cM\), то есть \(bM\), а наибольшим — число \(-cm\), то есть \(bm\): \(\min Y = bM\), \(\max Y = bm\).
Ответ: а) наименьшее значение \(bm\), наибольшее \(bM\); б) наименьшее значение \(bM\), наибольшее \(bm\).
Наименьшее значение набора равно \(m\), наибольшее значение равно \(M\). Каждое число набора умножили на одно и то же число \(b\). Найдите наименьшее и наибольшее значения получившегося набора, если: а) \(b > 0\); б) \(b < 0\).
Пусть \(X\) — данный набор, \(\min X = m\), \(\max X = M\), а \(Y\) — набор, который получился после умножения каждого числа на \(b\).
а) Если два числа умножить на одно и то же положительное число, то большее из них останется большим, поэтому порядок чисел набора не меняется. Наименьшим в наборе \(Y\) будет число, полученное из наименьшего числа \(m\), а наибольшим — из наибольшего числа \(M\): \(\min Y = bm\), \(\max Y = bM\).
б) Пусть \(b = -c\), где \(c > 0\). Умножить число на \(b\) — то же, что умножить его на положительное число \(c\) и взять противоположное число. После умножения на \(c\) порядок чисел не меняется: наименьшим будет число \(cm\), наибольшим — \(cM\). У противоположных чисел порядок обратный, поэтому наименьшим станет число \(-cM\), то есть \(bM\), а наибольшим — число \(-cm\), то есть \(bm\): \(\min Y = bM\), \(\max Y = bm\).
Например, при \(b = -2\) набор \(\{1, 3, 5\}\) переходит в набор \(\{-2, -6, -10\}\): наименьшее значение \(-10 = -2 \cdot 5\), наибольшее \(-2 = -2 \cdot 1\).
Ответ: а) наименьшее значение \(bm\), наибольшее \(bM\); б) наименьшее значение \(bM\), наибольшее \(bm\).
