Страница 156 номер 913, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите НОД и НОК чисел: а) 20 и 39; б) 12 и 220.
а) \(20 = 2^2 \cdot 5\), \(39 = 3 \cdot 13\) — общих простых множителей нет, числа взаимно простые: \(\mathrm{НОД}(20; 39) = 1\).
\[\mathrm{НОК}(20; 39) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 195 = 780.\]
Проверка: \(1 \cdot 780 = 780\) и \(20 \cdot 39 = 780\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
б) \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(220 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11\). Общий простой множитель один — двойка, и в оба разложения она входит во второй степени.
\[\mathrm{НОД}(12; 220) = 2^2 = 4.\]
В НОК каждый множитель — в наибольшей степени: двойка во второй, ещё 3, 5 и 11.
\[\mathrm{НОК}(12; 220) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 4 \cdot 165 = 660.\]
Проверка: \(4 \cdot 660 = 2640\) и \(12 \cdot 220 = 2640\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(20; 39) = 1\), \(\mathrm{НОК}(20; 39) = 780\); б) \(\mathrm{НОД}(12; 220) = 4\), \(\mathrm{НОК}(12; 220) = 660\).
Найдите НОД и НОК чисел: а) 20 и 39; б) 12 и 220.
а) Разложим числа 20 и 39 на простые множители:
\[20 = 2^2 \cdot 5, \qquad 39 = 3 \cdot 13.\]
Общих простых множителей у этих разложений нет, поэтому общим делителем чисел 20 и 39 остаётся только единица: \(\mathrm{НОД}(20; 39) = 1\). Такие числа называются взаимно простыми.
В разложение общего кратного входят все простые множители обоих чисел:
\[\mathrm{НОК}(20; 39) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 4 \cdot 195 = 780.\]
Проверка: \(1 \cdot 780 = 780\) и \(20 \cdot 39 = 780\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
б) Разложим числа 12 и 220 на простые множители:
\[12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 220 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11.\]
Общий простой множитель здесь только один — двойка, и в оба разложения она входит во второй степени:
\[\mathrm{НОД}(12; 220) = 2^2 = 4.\]
В разложение общего кратного каждый простой множитель входит в наибольшей из степеней: двойка во второй степени, а также множители 3, 5 и 11:
\[\mathrm{НОК}(12; 220) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 4 \cdot 165 = 660.\]
Проверка: \(4 \cdot 660 = 2640\) и \(12 \cdot 220 = 2640\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(20; 39) = 1\), \(\mathrm{НОК}(20; 39) = 780\); б) \(\mathrm{НОД}(12; 220) = 4\), \(\mathrm{НОК}(12; 220) = 660\).
