Страница 150 номер 891, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте трёхчлен \(x^4 + 10x^2 + 49\) в виде произведения многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.
Крайние члены — квадраты: \(x^4 = (x^2)^2\) и \(49 = 7^2\). Для квадрата суммы средний член должен быть \(2 \cdot x^2 \cdot 7 = 14x^2\), а он равен \(10x^2\) — не хватает \(4x^2\). Добавим и вычтем \(4x^2\):
\[\begin{aligned} &x^4 + 10x^2 + 49 = x^4 + 14x^2 + 49 - 4x^2 = (x^2 + 7)^2 - (2x)^2 = {} \\ &= (x^2 + 7 - 2x)(x^2 + 7 + 2x) = (x^2 - 2x + 7)(x^2 + 2x + 7). \end{aligned}\]
Оба множителя — многочлены второй степени с целыми коэффициентами.
Ответ: \((x^2 - 2x + 7)(x^2 + 2x + 7)\).
Представьте трёхчлен \(x^4 + 10x^2 + 49\) в виде произведения многочленов ненулевой степени с целыми коэффициентами.
Крайние члены трёхчлена — квадраты: \(x^4 = (x^2)^2\) и \(49 = 7^2\). Квадратом суммы трёхчлен был бы тогда, когда его средний член равен удвоенному произведению выражений \(x^2\) и 7, то есть \(2 \cdot x^2 \cdot 7 = 14x^2\). Здесь средний член равен \(10x^2\), поэтому до квадрата суммы не хватает \(4x^2\). Добавим \(4x^2\) и тут же вычтем, а к получившейся разности квадратов применим формулу \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\):
\[\begin{aligned} &x^4 + 10x^2 + 49 = x^4 + 14x^2 + 49 - 4x^2 = (x^2 + 7)^2 - (2x)^2 = {} \\ &= (x^2 + 7 - 2x)(x^2 + 7 + 2x) = (x^2 - 2x + 7)(x^2 + 2x + 7). \end{aligned}\]
Оба множителя — многочлены второй степени с целыми коэффициентами.
Ответ: \((x^2 - 2x + 7)(x^2 + 2x + 7)\).
