Страница 156 номер 908, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел \(m\) и \(n\), если \(m = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 13\) и \(n = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\).
Общие простые множители — 2 и 3: двойку берём не выше второй степени (в \(n\) она во второй), тройку — не выше третьей (в \(m\) она в третьей).
\[\mathrm{НОД}(m; n) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108.\]
В НОК входят все простые множители обоих чисел, каждый — в наибольшей степени: двойка в пятой, тройка в четвёртой, ещё 5 и 13.
\[\mathrm{НОК}(m; n) = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 13 = 32 \cdot 81 \cdot 65 = 168\,480.\]
Проверка: \(mn = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 = 2^7 \cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 13\) и \(\mathrm{НОД}(m; n) \cdot \mathrm{НОК}(m; n) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 13 = 2^7 \cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 13\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Ответ: \(\mathrm{НОД}(m; n) = 108\); \(\mathrm{НОК}(m; n) = 168\,480\).
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел \(m\) и \(n\), если \(m = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 13\) и \(n = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5\).
Числа \(m\) и \(n\) уже записаны в виде разложений на простые множители:
\[m = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 13, \qquad n = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5.\]
Общий делитель может содержать только те простые множители, которые входят в оба разложения, — это 2 и 3. Двойка входит в разложение числа \(n\) во второй степени, поэтому в общий делитель её можно взять не больше чем во второй степени; тройка входит в разложение числа \(m\) в третьей степени, поэтому её можно взять не больше чем в третьей степени. Наибольший общий делитель содержит эти множители в наибольшем возможном количестве:
\[\mathrm{НОД}(m; n) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108.\]
Общее кратное делится и на \(m\), и на \(n\), поэтому в его разложение входят все простые множители обоих чисел, причём каждый — в наибольшей из степеней, в которых он встречается: двойка в пятой степени, тройка в четвёртой, а также множители 5 и 13. Наименьшее такое число и есть наименьшее общее кратное:
\[\mathrm{НОК}(m; n) = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 13 = 32 \cdot 81 \cdot 65 = 168\,480.\]
Проверка: \(mn = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 = 2^7 \cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 13\) и \(\mathrm{НОД}(m; n) \cdot \mathrm{НОК}(m; n) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 13 = 2^7 \cdot 3^7 \cdot 5 \cdot 13\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Ответ: \(\mathrm{НОД}(m; n) = 108\); \(\mathrm{НОК}(m; n) = 168\,480\).
