Страница 150 номер 890, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Представьте выражение \(a^6 - 729b^6\) в виде произведения двух многочленов ненулевой степени тремя различными способами.
\(729 = 27^2 = 9^3 = 3^6\).
Первый способ. \(a^6 = (a^3)^2\) и \(729b^6 = (27b^3)^2\):
\[a^6 - 729b^6 = (a^3)^2 - (27b^3)^2 = (a^3 - 27b^3)(a^3 + 27b^3).\]
Второй способ. \(a^6 = (a^2)^3\) и \(729b^6 = (9b^2)^3\):
\[\begin{aligned} &a^6 - 729b^6 = (a^2)^3 - (9b^2)^3 = (a^2 - 9b^2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 9b^2 + (9b^2)^2) = {} \\ &= (a^2 - 9b^2)(a^4 + 9a^2b^2 + 81b^4). \end{aligned}\]
Третий способ. \(729b^6 = (3b)^6\), разность \(n\)-х степеней при \(n = 6\):
\[\begin{aligned} &a^6 - 729b^6 = a^6 - (3b)^6 = (a - 3b)(a^5 + a^4 \cdot 3b + a^3 \cdot (3b)^2 + a^2 \cdot (3b)^3 + a \cdot (3b)^4 + (3b)^5) = {} \\ &= (a - 3b)(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5). \end{aligned}\]
Разложения различны: степени множителей третья и третья, вторая и четвёртая, первая и пятая.
Ответ: \((a^3 - 27b^3)(a^3 + 27b^3)\); \((a^2 - 9b^2)(a^4 + 9a^2b^2 + 81b^4)\); \((a - 3b)(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5)\).
Представьте выражение \(a^6 - 729b^6\) в виде произведения двух многочленов ненулевой степени тремя различными способами.
Число 729 — одновременно квадрат, куб и шестая степень: \(729 = 27^2 = 9^3 = 3^6\). Поэтому одночлен \(729b^6\) записывается тремя разными способами, и каждый раз подходит своя формула.
Первый способ. Представим двучлен как разность квадратов, ведь \(a^6 = (a^3)^2\) и \(729b^6 = (27b^3)^2\):
\[a^6 - 729b^6 = (a^3)^2 - (27b^3)^2 = (a^3 - 27b^3)(a^3 + 27b^3).\]
Второй способ. Представим двучлен как разность кубов, ведь \(a^6 = (a^2)^3\) и \(729b^6 = (9b^2)^3\):
\[\begin{aligned} &a^6 - 729b^6 = (a^2)^3 - (9b^2)^3 = {} \\ &= (a^2 - 9b^2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 9b^2 + (9b^2)^2) = {} \\ &= (a^2 - 9b^2)(a^4 + 9a^2b^2 + 81b^4). \end{aligned}\]
Третий способ. Представим двучлен как разность шестых степеней, ведь \(729b^6 = (3b)^6\), и применим формулу разности \(n\)-х степеней при \(n = 6\):
\[\begin{aligned} &a^6 - 729b^6 = a^6 - (3b)^6 = {} \\ &= (a - 3b)(a^5 + a^4 \cdot 3b + a^3 \cdot (3b)^2 + a^2 \cdot (3b)^3 + a \cdot (3b)^4 + (3b)^5) = {} \\ &= (a - 3b)(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5). \end{aligned}\]
Все три разложения различны: в первом способе оба множителя третьей степени, во втором — второй и четвёртой, в третьем — первой и пятой.
Ответ: \((a^3 - 27b^3)(a^3 + 27b^3)\); \((a^2 - 9b^2)(a^4 + 9a^2b^2 + 81b^4)\); \((a - 3b)(a^5 + 3a^4b + 9a^3b^2 + 27a^2b^3 + 81ab^4 + 243b^5)\).
