Страница 150 номер 889, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен \(a^4 + 5a^2 + 2a + 8\) на множители с целыми коэффициентами.
Одночлен \(5a^2\) и свободный член 8 близки к квадрату двучлена \((a^2 + 3)^2 = a^4 + 6a^2 + 9\): не хватает \(a^2\) и 1. Добавим их и тут же вычтем:
\[\begin{aligned} &a^4 + 5a^2 + 2a + 8 = a^4 + 6a^2 + 9 - a^2 + 2a - 1 = {} \\ &= (a^4 + 6a^2 + 9) - (a^2 - 2a + 1) = (a^2 + 3)^2 - (a - 1)^2 = {} \\ &= (a^2 + 3 - (a - 1))(a^2 + 3 + (a - 1)) = (a^2 - a + 4)(a^2 + a + 2). \end{aligned}\]
Оба множителя — многочлены с целыми коэффициентами.
Проверка:
\[\begin{aligned} &(a^2 - a + 4)(a^2 + a + 2) = {} \\ &= a^4 + a^3 + 2a^2 - a^3 - a^2 - 2a + 4a^2 + 4a + 8 = a^4 + 5a^2 + 2a + 8. \end{aligned}\]
Ответ: \((a^2 - a + 4)(a^2 + a + 2)\).
Разложите многочлен \(a^4 + 5a^2 + 2a + 8\) на множители с целыми коэффициентами.
Одночлен \(5a^2\) и свободный член 8 близки к квадрату двучлена: \((a^2 + 3)^2 = a^4 + 6a^2 + 9\). До такого квадрата многочлену не хватает \(a^2\) и 1. Добавим их и тут же вычтем — от этого многочлен не изменится:
\[a^4 + 5a^2 + 2a + 8 = a^4 + 6a^2 + 9 - a^2 + 2a - 1 = (a^4 + 6a^2 + 9) - (a^2 - 2a + 1).\]
В первой скобке — квадрат суммы выражений \(a^2\) и 3, во второй — квадрат разности выражений \(a\) и 1:
\[(a^4 + 6a^2 + 9) - (a^2 - 2a + 1) = (a^2 + 3)^2 - (a - 1)^2.\]
Получилась разность квадратов выражений \(a^2 + 3\) и \(a - 1\). Она равна произведению разности этих выражений на их сумму:
\[\begin{aligned} &(a^2 + 3)^2 - (a - 1)^2 = (a^2 + 3 - (a - 1))(a^2 + 3 + (a - 1)) = {} \\ &= (a^2 - a + 4)(a^2 + a + 2). \end{aligned}\]
Оба множителя — многочлены с целыми коэффициентами.
Проверка: перемножим полученные многочлены:
\[\begin{aligned} &(a^2 - a + 4)(a^2 + a + 2) = {} \\ &= a^4 + a^3 + 2a^2 - a^3 - a^2 - 2a + 4a^2 + 4a + 8 = a^4 + 5a^2 + 2a + 8. \end{aligned}\]
Ответ: \((a^2 - a + 4)(a^2 + a + 2)\).
