Страница 156 номер 898, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 3 и 89; б) 30 и 42; в) 24 и 20.
а) Число 3 простое, его делители — 1 и 3. Сумма цифр \(89\): \(8 + 9 = 17\) — на 3 не делится, значит, и 89 на 3 не делится, тройка общим делителем не является. Остаётся единица: \(\mathrm{НОД}(3; 89) = 1\), числа взаимно простые.
б) \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\) и \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\). В оба разложения входят 2 и 3, каждый в первой степени: \(\mathrm{НОД}(30; 42) = 2 \cdot 3 = 6\).
в) \(24 = 2^3 \cdot 3\) и \(20 = 2^2 \cdot 5\). Общий простой множитель один — двойка: в 24 она в третьей степени, в 20 — во второй, поэтому берём её во второй: \(\mathrm{НОД}(24; 20) = 2^2 = 4\).
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(3; 89) = 1\); б) \(\mathrm{НОД}(30; 42) = 6\); в) \(\mathrm{НОД}(24; 20) = 4\).
Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 3 и 89; б) 30 и 42; в) 24 и 20.
а) Любой общий делитель чисел 3 и 89 является делителем числа 3. Число 3 простое, поэтому у него только два натуральных делителя: 1 и 3. Сумма цифр числа 89 равна \(8 + 9 = 17\), число 17 на 3 не делится, значит, и 89 на 3 не делится, то есть тройка общим делителем не является. Остаётся единственный общий делитель — единица: \(\mathrm{НОД}(3; 89) = 1\). Эти числа взаимно простые.
б) Разложим числа на простые множители: \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\) и \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\). Общий делитель может содержать только те простые множители, которые входят в оба разложения, — это 2 и 3, причём каждый в первой степени. Значит, \(\mathrm{НОД}(30; 42) = 2 \cdot 3 = 6\).
в) Разложим числа на простые множители: \(24 = 2^3 \cdot 3\) и \(20 = 2^2 \cdot 5\). Общий простой множитель здесь только один — двойка. В разложение числа 24 она входит в третьей степени, а в разложение числа 20 — во второй, поэтому в общий делитель двойку можно взять не больше чем во второй степени. Значит, \(\mathrm{НОД}(24; 20) = 2^2 = 4\).
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(3; 89) = 1\); б) \(\mathrm{НОД}(30; 42) = 6\); в) \(\mathrm{НОД}(24; 20) = 4\).
