Страница 160 номер 935, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выберите все выражения, которые будут чётными при всех натуральных \(n\):
1) \(19^2 + 26^2\); 2) \((n + 3)(n + 4)\); 3) \(4n + 7\); 4) \(2n(2n - 1)\); 5) \(8n - 2\).
1) \(19^2 + 26^2 = 361 + 676 = 1037\) — от \(n\) не зависит, последняя цифра 7, число нечётно. Не подходит.
2) \(n + 3\) и \(n + 4\) — соседние числа, одно из них чётно: при чётном \(n = 2l\) это \(n + 4 = 2l + 4 = 2(l + 2)\), при нечётном \(n = 2l + 1\) — это \(n + 3 = 2l + 4 = 2(l + 2)\). Произведение чётно, подходит.
3) \(4n + 7 = 4n + 6 + 1 = 2(2n + 3) + 1\) — число вида \(2l + 1\), нечётное. Не подходит.
4) \(2n(2n - 1) = 2 \cdot n(2n - 1)\) — число вида \(2l\) при \(l = n(2n - 1)\), чётно. Подходит.
5) \(8n - 2 = 2(4n - 1)\) — число вида \(2l\) при \(l = 4n - 1\), чётно. Подходит.
Ответ: чётными при всех натуральных \(n\) будут выражения 2) \((n + 3)(n + 4)\), 4) \(2n(2n - 1)\) и 5) \(8n - 2\).
Выберите все выражения, которые будут чётными при всех натуральных \(n\):
1) \(19^2 + 26^2\); 2) \((n + 3)(n + 4)\); 3) \(4n + 7\); 4) \(2n(2n - 1)\); 5) \(8n - 2\).
1) Значение выражения \(19^2 + 26^2\) от \(n\) не зависит: \(19^2 + 26^2 = 361 + 676 = 1037\). Последняя цифра 7 на 2 не делится, поэтому число 1037 нечётно и выражение не подходит.
2) Числа \(n + 3\) и \(n + 4\) — соседние натуральные числа, поэтому одно из них чётно.
Если \(n\) чётно, то \(n = 2l\), где \(l\) — натуральное число, и тогда \(n + 4 = 2l + 4 = 2(l + 2)\) — чётное число.
Если \(n\) нечётно, то \(n = 2l + 1\), где \(l\) — целое неотрицательное число, и тогда \(n + 3 = 2l + 4 = 2(l + 2)\) — чётное число.
В обоих случаях один из множителей делится на 2, а тогда и всё произведение делится на 2. Выражение подходит.
3) \(4n + 7 = 4n + 6 + 1 = 2(2n + 3) + 1\) — число вида \(2l + 1\), то есть нечётное при любом натуральном \(n\). Выражение не подходит.
4) \(2n(2n - 1) = 2 \cdot n(2n - 1)\) — число вида \(2l\), где \(l = n(2n - 1)\) — натуральное число. Значит, при любом натуральном \(n\) значение выражения чётно и выражение подходит.
5) \(8n - 2 = 2(4n - 1)\) — число вида \(2l\), где \(l = 4n - 1\) — натуральное число. Значит, при любом натуральном \(n\) значение выражения чётно и выражение подходит.
Ответ: чётными при всех натуральных \(n\) будут выражения 2) \((n + 3)(n + 4)\), 4) \(2n(2n - 1)\) и 5) \(8n - 2\).
