Страница 156 номер 909, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите НОД и НОК чисел: а) 21 и 32; б) 56 и 140.
а) \(21 = 3 \cdot 7\), \(32 = 2^5\) — общих простых множителей нет, числа взаимно простые: \(\mathrm{НОД}(21; 32) = 1\).
\[\mathrm{НОК}(21; 32) = 2^5 \cdot 3 \cdot 7 = 32 \cdot 21 = 672.\]
Проверка: \(1 \cdot 672 = 672\) и \(21 \cdot 32 = 672\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
б) \(56 = 2^3 \cdot 7\), \(140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7\). Общие множители — 2 и 7: двойку берём во второй степени (в 140 она во второй), семёрку — в первой.
\[\mathrm{НОД}(56; 140) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28.\]
В НОК каждый множитель — в наибольшей степени: двойка в третьей, ещё 5 и 7.
\[\mathrm{НОК}(56; 140) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 35 = 280.\]
Проверка: \(28 \cdot 280 = 7840\) и \(56 \cdot 140 = 7840\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(21; 32) = 1\), \(\mathrm{НОК}(21; 32) = 672\); б) \(\mathrm{НОД}(56; 140) = 28\), \(\mathrm{НОК}(56; 140) = 280\).
Найдите НОД и НОК чисел: а) 21 и 32; б) 56 и 140.
а) Разложим числа 21 и 32 на простые множители:
\[21 = 3 \cdot 7, \qquad 32 = 2^5.\]
Общих простых множителей у этих разложений нет, поэтому общим делителем чисел 21 и 32 остаётся только единица: \(\mathrm{НОД}(21; 32) = 1\). Такие числа называются взаимно простыми.
В разложение общего кратного входят все простые множители обоих чисел:
\[\mathrm{НОК}(21; 32) = 2^5 \cdot 3 \cdot 7 = 32 \cdot 21 = 672.\]
Проверка: \(1 \cdot 672 = 672\) и \(21 \cdot 32 = 672\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
б) Разложим числа 56 и 140 на простые множители:
\[56 = 2^3 \cdot 7, \qquad 140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7.\]
Общие простые множители — 2 и 7. Двойку можно взять только во второй степени (в разложение числа 140 она входит во второй степени), семёрку — в первой:
\[\mathrm{НОД}(56; 140) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28.\]
В разложение общего кратного каждый простой множитель входит в наибольшей из степеней: двойка в третьей степени, а также множители 5 и 7:
\[\mathrm{НОК}(56; 140) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 35 = 280.\]
Проверка: \(28 \cdot 280 = 7840\) и \(56 \cdot 140 = 7840\) — произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел.
Ответ: а) \(\mathrm{НОД}(21; 32) = 1\), \(\mathrm{НОК}(21; 32) = 672\); б) \(\mathrm{НОД}(56; 140) = 28\), \(\mathrm{НОК}(56; 140) = 280\).
