Страница 150 номер 892, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите на множители \(a^4 + 64b^4\).
\(a^4 = (a^2)^2\) и \(64b^4 = (8b^2)^2\), а до квадрата суммы не хватает \(2 \cdot a^2 \cdot 8b^2 = 16a^2b^2\).
Добавим и вычтем это произведение, а \(16a^2b^2 = (4ab)^2\):
\[\begin{aligned} &a^4 + 64b^4 = (a^2)^2 + (8b^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 8b^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 8b^2 = {} \\ &= (a^2 + 8b^2)^2 - 16a^2b^2 = (a^2 + 8b^2)^2 - (4ab)^2 = {} \\ &= (a^2 + 8b^2 - 4ab)(a^2 + 8b^2 + 4ab). \end{aligned}\]
Ответ: \((a^2 + 8b^2 - 4ab)(a^2 + 8b^2 + 4ab)\).
Разложите на множители \(a^4 + 64b^4\).
Представим двучлен как сумму квадратов: \(a^4 = (a^2)^2\) и \(64b^4 = (8b^2)^2\). Для того чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы, не хватает удвоенного произведения \(2 \cdot a^2 \cdot 8b^2 = 16a^2b^2\). Добавим и вычтем это удвоенное произведение:
\[\begin{aligned} &a^4 + 64b^4 = (a^2)^2 + (8b^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 8b^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 8b^2 = {} \\ &= (a^2 + 8b^2)^2 - 16a^2b^2. \end{aligned}\]
Вычитаемое тоже является квадратом: \(16a^2b^2 = (4ab)^2\). Применим формулу разности квадратов:
\[(a^2 + 8b^2)^2 - (4ab)^2 = (a^2 + 8b^2 - 4ab)(a^2 + 8b^2 + 4ab).\]
Ответ: \((a^2 + 8b^2 - 4ab)(a^2 + 8b^2 + 4ab)\).
