Страница 75 номер 8.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях \(a\) функция \(y = 4\ln x - ax - 7\) является возрастающей?
Область определения — \((0;\ +\infty)\); \(y' = \frac{4}{x} - a\).
Функция возрастает на всей области определения, когда \(y'\) не принимает на ней отрицательных значений.
При \(a \leqslant 0\) имеем \(-a \geqslant 0\), а дробь \(\frac{4}{x}\) при \(x > 0\) положительна, поэтому \(y' > 0\) и функция возрастает.
При \(a > 0\) неравенство \(y' < 0\) равносильно неравенству \(\frac{4}{x} < a\), которое при \(x > 0\) выполняется при \(x > \frac{4}{a}\): на промежутке \(\left[\frac{4}{a};\ +\infty\right)\) функция убывает и возрастающей не является.
Ответ: \(a \leqslant 0\).
При каких значениях \(a\) функция \(y = 4\ln x - ax - 7\) является возрастающей?
Область определения функции — промежуток \((0;\ +\infty)\). Имеем: \(y' = \frac{4}{x} - a\).
Функция возрастает на всей области определения тогда и только тогда, когда её производная не принимает там отрицательных значений.
Если \(a \leqslant 0\), то \(-a \geqslant 0\), а дробь \(\frac{4}{x}\) при \(x > 0\) положительна, поэтому \(y' > 0\) на всей области определения и функция возрастает.
Если же \(a > 0\), то неравенство \(y' < 0\) равносильно неравенству \(\frac{4}{x} < a\), которое при \(x > 0\) выполняется при \(x > \frac{4}{a}\). Значит, на промежутке \(\left[\frac{4}{a};\ +\infty\right)\) функция убывает и возрастающей не является.
Ответ: \(a \leqslant 0\).
