Страница 75 номер 8.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) функция \(f(x) = 1 - 2e^{x} + (1 - a)e^{-x} - e^{2x} + (a - 1)x\) является убывающей?
Область определения — \(\mathbf{R}\); \(f'(x) = -2e^{x} - (1 - a)e^{-x} - 2e^{2x} + a - 1\).
Обозначим \(t = e^{x}\); при этом \(t\) принимает все положительные значения. Тогда \(f'(x) = -2t - \frac{1 - a}{t} - 2t^{2} + a - 1\), то есть
\[\begin{aligned} &f'(x) = \frac{-2t^{3} - 2t^{2} + (a - 1)t + (a - 1)}{t} = {} \\ &= \frac{-2t^{2}(t + 1) + (a - 1)(t + 1)}{t} = \frac{(t + 1)\left(a - 1 - 2t^{2}\right)}{t}. \end{aligned}\]
Множители \(t + 1\) и \(t\) положительны, поэтому знак \(f'(x)\) — знак выражения \(a - 1 - 2t^{2}\), и функция убывает на всей области определения, когда \(a - 1 - 2t^{2} \leqslant 0\) при всех \(t > 0\).
При \(a \leqslant 1\) имеем \(a - 1 \leqslant 0\), а \(-2t^{2} < 0\), поэтому \(a - 1 - 2t^{2} < 0\) и \(f'(x) < 0\): функция убывает.
При \(a > 1\) неравенство \(a - 1 - 2t^{2} > 0\) равносильно неравенству \(t^{2} < \frac{a - 1}{2}\), то есть \(0 < t < \sqrt{\frac{a - 1}{2}}\); это выполняется при \(x < \ln\sqrt{\frac{a - 1}{2}}\), и на промежутке \(\left(-\infty;\ \ln\sqrt{\frac{a - 1}{2}}\right]\) функция возрастает, а значит, убывающей не является.
Ответ: \(a \leqslant 1\).
При каких значениях параметра \(a\) функция \(f(x) = 1 - 2e^{x} + (1 - a)e^{-x} - e^{2x} + (a - 1)x\) является убывающей?
Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = -2e^{x} - (1 - a)e^{-x} - 2e^{2x} + a - 1\).
Обозначим \(t = e^{x}\); при этом \(t\) принимает все положительные значения. Тогда \(f'(x) = -2t - \frac{1 - a}{t} - 2t^{2} + a - 1\). Приведём это выражение к общему знаменателю: \[\begin{aligned} &f'(x) = \frac{-2t^{3} - 2t^{2} + (a - 1)t + (a - 1)}{t} = {} \\ &= \frac{-2t^{2}(t + 1) + (a - 1)(t + 1)}{t} = \frac{(t + 1)\left(a - 1 - 2t^{2}\right)}{t}. \end{aligned}\]
Множители \(t + 1\) и \(t\) положительны, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(a - 1 - 2t^{2}\).
Функция убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда \(a - 1 - 2t^{2} \leqslant 0\) при всех \(t > 0\).
Если \(a \leqslant 1\), то \(a - 1 \leqslant 0\), а \(-2t^{2} < 0\), поэтому \(a - 1 - 2t^{2} < 0\) и \(f'(x) < 0\): функция убывает.
Если же \(a > 1\), то неравенство \(a - 1 - 2t^{2} > 0\) равносильно неравенству \(t^{2} < \frac{a - 1}{2}\), то есть \(0 < t < \sqrt{\frac{a - 1}{2}}\). Это выполняется при \(x < \ln\sqrt{\frac{a - 1}{2}}\), и на промежутке \(\left(-\infty;\ \ln\sqrt{\frac{a - 1}{2}}\right]\) функция возрастает, а значит, убывающей не является.
Ответ: \(a \leqslant 1\).
