Вопросы после параграфа §9 на странице 84, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Функцию \(F\) называют первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\), если при всех \(x \in I\) выполняется равенство \(F'(x) = f(x)\). Если промежуток в задаче не указан, то считают, что \(I = (-\infty;\ +\infty)\).

Например, функция \(F(x) = \sin x\) — первообразная функции \(f(x) = \cos x\) на промежутке \((-\infty;\ +\infty)\), поскольку \((\sin x)' = \cos x\) при любом \(x\). Промежуток в определении существен: функция \(\operatorname{tg} x\) — первообразная функции \(\frac{1}{\cos^2 x}\) на промежутке \(\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)\), а на промежутке \((0;\ \pi)\) — нет: в точке \(\frac{\pi}{2}\) этого промежутка обе функции не определены, и равенство \((\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\) в ней не выполняется.

Ответ: первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\) называют функцию \(F\), для которой при всех \(x \in I\) выполняется равенство \(F'(x) = f(x)\).

Основное свойство первообразной состоит из двух утверждений. Пусть функция \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\). Тогда при любом числе \(C\) функция \(y = F(x) + C\) тоже является первообразной функции \(f\) на промежутке \(I\). Кроме того, любую первообразную функции \(f\) на промежутке \(I\) можно представить в виде \(y = F(x) + C\), где \(C\) — некоторое число.

Первое утверждение следует из равенства \((F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x)\), верного при всех \(x \in I\). Второе — из признака постоянства функции: если \(G\) — какая-нибудь первообразная функции \(f\) на \(I\), то \((G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) = 0\) при всех \(x \in I\), а функция, производная которой на промежутке равна нулю, на этом промежутке постоянна. Значит, \(G(x) - F(x) = C\), где \(C\) — некоторое число, т. е. \(G(x) = F(x) + C\).

Из основного свойства следует, что графики любых двух первообразных функции \(f\) на промежутке \(I\) получаются один из другого параллельным переносом вдоль оси ординат. Например, поскольку \(\left(\frac{x^4}{4}\right)' = x^3\), функции \(\frac{x^4}{4}\), \(\frac{x^4}{4} + 5\) и \(\frac{x^4}{4} - \sqrt{3}\) — первообразные функции \(x^3\), а других первообразных, кроме функций вида \(\frac{x^4}{4} + C\), у неё нет.

Ответ: если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\), то при любом числе \(C\) функция \(y = F(x) + C\) тоже первообразная функции \(f\) на \(I\), и любую первообразную функции \(f\) на \(I\) можно представить в виде \(y = F(x) + C\), где \(C\) — некоторое число.

Если функция \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\), то запись \(F(x) + C\), где \(C\) — любое число, называют общим видом первообразных функции \(f\) на промежутке \(I\). По основному свойству первообразной эта запись при различных значениях \(C\) даёт все первообразные функции \(f\) на \(I\), и только их.

Например, \(\left(-\frac{1}{x}\right)' = \frac{1}{x^2}\) при \(x \ne 0\), поэтому на промежутке \((0;\ +\infty)\) общий вид первообразных функции \(\frac{1}{x^2}\) — \(-\frac{1}{x} + C\), где \(C\) — любое число.

Ответ: если \(F\) — первообразная функции \(f\) на промежутке \(I\), то общим видом первообразных функции \(f\) на \(I\) называют запись \(F(x) + C\), где \(C\) — любое число.

Неопределённым интегралом функции \(f\) на промежутке \(I\) называют совокупность всех первообразных этой функции на промежутке \(I\). Его обозначают \(\int f(x)\,dx\) (читают: «интеграл эф от икс дэ икс»). Если \(F\) — одна из первообразных функции \(f\) на \(I\), то по основному свойству первообразной пишут: \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\), где \(C\) — любое число.

Например, \((x^4)' = 4x^3\), поэтому \(\int 4x^3\,dx = x^4 + C\), где \(C\) — любое число.

Ответ: неопределённым интегралом функции \(f\) на промежутке \(I\) называют совокупность всех её первообразных на этом промежутке; его обозначают \(\int f(x)\,dx\).