Страница 75 номер 8.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях \(a\) функция \(y = 2 - 3e^{x} - ax\) является убывающей?
Область определения — \(\mathbf{R}\); \(y' = -3e^{x} - a\).
Функция убывает на всей области определения, когда \(y'\) не принимает на ней положительных значений.
При \(a \geqslant 0\) имеем \(-a \leqslant 0\), а выражение \(-3e^{x}\) отрицательно при всех \(x\), поэтому \(y' < 0\) и функция убывает.
При \(a < 0\) неравенство \(y' > 0\) равносильно неравенству \(e^{x} < -\frac{a}{3}\), где \(-\frac{a}{3} > 0\); оно выполняется при \(x < \ln\left(-\frac{a}{3}\right)\): на промежутке \(\left(-\infty;\ \ln\left(-\frac{a}{3}\right)\right]\) функция возрастает и убывающей не является.
Ответ: \(a \geqslant 0\).
При каких значениях \(a\) функция \(y = 2 - 3e^{x} - ax\) является убывающей?
Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(y' = -3e^{x} - a\).
Функция убывает на всей области определения тогда и только тогда, когда её производная не принимает там положительных значений.
Если \(a \geqslant 0\), то \(-a \leqslant 0\), а выражение \(-3e^{x}\) отрицательно при всех \(x\), поэтому \(y' < 0\) на всей числовой прямой и функция убывает.
Если же \(a < 0\), то неравенство \(y' > 0\) равносильно неравенству \(e^{x} < -\frac{a}{3}\), где \(-\frac{a}{3} > 0\); оно выполняется при \(x < \ln\left(-\frac{a}{3}\right)\). Значит, на промежутке \(\left(-\infty;\ \ln\left(-\frac{a}{3}\right)\right]\) функция возрастает и убывающей не является.
Ответ: \(a \geqslant 0\).
