Страница 75 номер 8.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
При каких значениях параметра \(m\) функция \(f(x) = 2e^{x} - me^{-x} + (1 + 2m)x - 3\) является возрастающей?
Область определения — \(\mathbf{R}\); \(f'(x) = 2e^{x} + me^{-x} + 1 + 2m\).
Обозначим \(t = e^{x}\); при этом \(t\) принимает все положительные значения. Тогда
\[\begin{aligned} &f'(x) = 2t + \frac{m}{t} + 1 + 2m = \frac{2t^{2} + (1 + 2m)t + m}{t} = {} \\ &= \frac{t(2t + 1) + m(2t + 1)}{t} = \frac{(2t + 1)(t + m)}{t}. \end{aligned}\]
Множители \(2t + 1\) и \(t\) положительны, поэтому знак \(f'(x)\) — знак двучлена \(t + m\), и функция возрастает на всей области определения, когда \(t + m \geqslant 0\) при всех \(t > 0\).
При \(m \geqslant 0\) имеем \(t + m > 0\) при всех \(t > 0\), поэтому \(f'(x) > 0\) и функция возрастает.
При \(m < 0\) и \(0 < t < -m\), то есть при \(x < \ln(-m)\), имеем \(t + m < 0\) и \(f'(x) < 0\), так что на промежутке \((-\infty;\ \ln(-m)]\) функция убывает и возрастающей не является.
Ответ: \(m \geqslant 0\).
При каких значениях параметра \(m\) функция \(f(x) = 2e^{x} - me^{-x} + (1 + 2m)x - 3\) является возрастающей?
Область определения функции — множество \(\mathbf{R}\). Имеем: \(f'(x) = 2e^{x} + me^{-x} + 1 + 2m\).
Обозначим \(t = e^{x}\); при этом \(t\) принимает все положительные значения. Тогда \[\begin{aligned} &f'(x) = 2t + \frac{m}{t} + 1 + 2m = \frac{2t^{2} + (1 + 2m)t + m}{t} = {} \\ &= \frac{t(2t + 1) + m(2t + 1)}{t} = \frac{(2t + 1)(t + m)}{t}. \end{aligned}\]
Множители \(2t + 1\) и \(t\) положительны, поэтому знак производной совпадает со знаком двучлена \(t + m\).
Функция возрастает на всей области определения тогда и только тогда, когда \(t + m \geqslant 0\) при всех \(t > 0\).
Если \(m \geqslant 0\), то \(t + m > 0\) при всех \(t > 0\), поэтому \(f'(x) > 0\) и функция возрастает.
Если же \(m < 0\), то при \(0 < t < -m\), то есть при \(x < \ln(-m)\), имеем \(t + m < 0\) и \(f'(x) < 0\). Значит, на промежутке \((-\infty;\ \ln(-m)]\) функция убывает и возрастающей не является.
Ответ: \(m \geqslant 0\).
