Страница 75 номер 8.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = \ln(1 + x) - x\) и докажите, что при \(x > -1\) выполняется неравенство \(\ln(1 + x) \le x\).
Область определения: \(1 + x > 0\), откуда \(x > -1\), то есть \(D(f) = (-1;\ +\infty)\).
\(f'(x) = \frac{1}{1 + x} - 1 = \frac{1 - (1 + x)}{1 + x} = \frac{-x}{1 + x}\).
На области определения \(1 + x > 0\), поэтому знак \(f'(x)\) — знак выражения \(-x\): \(f'(x) > 0\) при \(-1 < x < 0\), \(f'(x) < 0\) при \(x > 0\); \(f'(0) = 0\). Функция возрастает на \((-1;\ 0]\), убывает на \([0;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 0\).
Слева от нуля функция возрастает, справа убывает, поэтому наибольшее на области определения значение она принимает в точке 0: \(f(0) = \ln 1 - 0 = 0\).
Значит, \(f(x) \leqslant 0\) при всех \(x > -1\), то есть \(\ln(1 + x) - x \leqslant 0\), откуда \(\ln(1 + x) \leqslant x\). Неравенство доказано, причём равенство достигается только при \(x = 0\).
Ответ: функция возрастает на промежутке \((-1;\ 0]\), убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\); неравенство доказано при \(x > -1\).
Найдите промежутки возрастания и убывания функции \(f(x) = \ln(1 + x) - x\) и докажите, что при \(x > -1\) выполняется неравенство \(\ln(1 + x) \le x\).
Область определения функции \(f\) задаётся условием \(1 + x > 0\), откуда \(x > -1\), то есть \(D(f) = (-1;\ +\infty)\).
Имеем: \(f'(x) = \frac{1}{1 + x} - 1 = \frac{1 - (1 + x)}{1 + x} = \frac{-x}{1 + x}\).
На области определения \(1 + x > 0\), поэтому знак производной совпадает со знаком выражения \(-x\): \(f'(x) > 0\) при \(-1 < x < 0\) и \(f'(x) < 0\) при \(x > 0\); \(f'(0) = 0\).
Значит, функция \(f\) возрастает на промежутке \((-1;\ 0]\), убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\), \(x_{\max} = 0\).
Слева от нуля функция возрастает, справа убывает, поэтому наибольшее значение на области определения она принимает в точке 0. Это значение равно \(f(0) = \ln 1 - 0 = 0\).
Следовательно, \(f(x) \leqslant 0\) при всех \(x > -1\), то есть \(\ln(1 + x) - x \leqslant 0\), откуда \(\ln(1 + x) \leqslant x\). Неравенство доказано, причём равенство достигается только при \(x = 0\).
Ответ: функция возрастает на промежутке \((-1;\ 0]\), убывает на промежутке \([0;\ +\infty)\); неравенство доказано при \(x > -1\).
