Страница 121 номер 10.21, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(AB = AC\), \(\angle BAD = \angle CAD\). Докажите, что \(AD \perp BC\).
Треугольники \(BAD\) и \(CAD\) равны по первому признаку равенства треугольников: \(AB = AC\), сторона \(AD\) — общая, \(\angle BAD = \angle CAD\). Следовательно, \(DB = DC\).
Пусть точка \(K\) — середина ребра \(BC\). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) медиана \(AK\) является высотой, то есть \(BC \perp AK\). В равнобедренном треугольнике \(DBC\) медиана \(DK\) тоже является высотой, то есть \(BC \perp DK\).
Прямые \(AK\) и \(DK\) пересекаются в точке \(K\) и различны: прямая \(AK\) лежит в плоскости \(ABC\), а точка \(D\) — нет. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(BC \perp AKD\). Прямая \(AD\) лежит в плоскости \(AKD\), поэтому по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(BC \perp AD\).
Ответ: прямые \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны.
