Страница 121 номер 10.22, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
В тетраэдре \(DABC\) известно, что \(\angle ABD = \angle CBD\), \(\angle ADB = \angle CDB\). Докажите, что \(BD \perp AC\).
Треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равны по второму признаку равенства треугольников: сторона \(BD\) — общая, \(\angle ABD = \angle CBD\), \(\angle ADB = \angle CDB\). Следовательно, \(BA = BC\) и \(DA = DC\).
Пусть точка \(K\) — середина ребра \(AC\). В равнобедренном треугольнике \(ABC\) медиана \(BK\) является высотой, то есть \(AC \perp BK\). В равнобедренном треугольнике \(ADC\) медиана \(DK\) тоже является высотой, то есть \(AC \perp DK\).
Прямые \(BK\) и \(DK\) пересекаются в точке \(K\) и различны: прямая \(BK\) лежит в плоскости \(ABC\), а точка \(D\) — нет. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(AC \perp BKD\). Прямая \(BD\) лежит в плоскости \(BKD\), поэтому по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(AC \perp BD\).
Ответ: прямые \(BD\) и \(AC\) перпендикулярны.
