Страница 424 номер 1534, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Исследовать с помощью производной функцию \(y = x^3 - 5x^2 - x + 5\) и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.
\(y = x^{3} - 5x^{2} - x + 5\)
Область определения – \(x \in R\);
Область значений – \(y \in R\);
\(y'(x) = 3x^{2} - 10x - 1,\)
\(y'(x) = 0,\)
\(3x^{2} - 10x - 1 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 + 12}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{28}}{3} = \dfrac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3};\)
\(y'(x)\) – парабола, ветви направлены вверх;
\(y'(x) > 0\) при \(x < \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}\) и
\(x > \dfrac{5 + 2\sqrt{7}}{3},\)
\(y'(x) < 0\) при \(\frac{5 - 2\sqrt{7}}{3} < x < \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}\),
\(x = \frac{5 - 2\sqrt{7}}{3}\) – точка максимума;
\(x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}\) – точка минимума;
\(y\left( \dfrac{5 - 2\sqrt{7}}{3} \right) = \dfrac{112\sqrt{7} - 160}{27},\)
\(y\left( \dfrac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \right) = -\dfrac{112\sqrt{7} + 160}{27};\)
\(f = y\left( x_{0} \right) + y'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right), x_{0} = 4\)
\(y(4) = - 15,\)
\(y'(4) = 7,\)
\(f = - 15 + 7(x - 4) = 7x - 43.\)
