Страница 423 номер 1523, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса \(R\) и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(2h\).
\(S = 2\pi r \cdot 2h = 4\pi rh,\)
\(h = \sqrt{R^{2} - r^{2}},\)
\(S = 4\pi r\sqrt{R^{2} - r^{2}},\)
\(S'(r) = 4\pi\sqrt{R^{2} - r^{2}} + \dfrac{2\pi r(-2r)}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} =\)
\(= \dfrac{4\pi\left( R^{2} - r^{2} \right) - 4\pi r^{2}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} = \dfrac{4\pi R^{2} - 8\pi r^{2}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} = \dfrac{4\pi\left( R^{2} - 2r^{2} \right)}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}}\)
\(S'(r) = 0,\)
\(S'(r) > 0\) при \(0 < r < \frac{R}{\sqrt{2}}\), \(S'(r) < 0\) при \(\frac{R}{\sqrt{2}} < r < R\),
\(r_{0} = \frac{R}{\sqrt{2}}\) – точка максимума.
Ответ: наибольшая площадь боковой поверхности при \(r = \frac{R}{\sqrt{2}}\).
