Страница 423 номер 1526, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
В конус с заданным объёмом \(V\) вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным \(\alpha\). При каком значении \(\alpha\) объём пирамиды будет наибольшим?
Равнобедренный треугольник \(ABC\).
\(V_{\text{конуса}} = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3}\pi R^{2}h,\)
\(V_{\text{пирамиды}} = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3}S_{ABC} \cdot h,\)
\(S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin\alpha,\)
\(\angle BAC = \angle BCA = \dfrac{\pi - \alpha}{2},\)
\(\dfrac{AB}{\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\alpha}{2} \right)} = \dfrac{AC}{\sin\alpha},\)
\(AC = 2R\sin\alpha,\)
\(AB = \dfrac{2R\sin\alpha \cdot \cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\alpha} = 2R\cos\dfrac{\alpha}{2},\)
\(S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 2R\cos\dfrac{\alpha}{2} \cdot 2R\cos\dfrac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha = 2R^{2}\cos^{2}\dfrac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha,\)
Наибольшее значение \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{2}{3}R^{2}h\cos^{2}\frac{\alpha}{2} \cdot \sin\alpha\) (\(R\), \(h\) – постоянные) достигается в той же точке, что и у функции \(f(\alpha) = \cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin\alpha\):
\(f'(\alpha) = \left( \cos^{2}\dfrac{\alpha}{2}\sin\alpha \right)' = \dfrac{1}{2}\left( \cos\alpha + \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha \right),\)
\(f'(\alpha) = 0,\)
\(2\cos^{2}\alpha + \cos\alpha - 1 = 0,\)
\(\cos\alpha = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{-1 \pm 3}{4},\)
\(\cos\alpha = \frac{1}{2}\) или \(\cos\alpha = - 1\)
Сумма всех углов треугольника – \(\pi\).
Следовательно, \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\)
\(\alpha = \dfrac{\pi}{3}.\)
\(f'(\alpha) = \dfrac{1}{2}(2\cos\alpha - 1)(\cos\alpha + 1),\)
\(f'(\alpha) > 0\) при \(0 < \alpha < \frac{\pi}{3}\), \(f'(\alpha) < 0\) при \(\frac{\pi}{3} < \alpha < \pi\),
\(\alpha = \frac{\pi}{3}\) – точка максимума.
Ответ: наибольший объём пирамиды при \(\alpha = \frac{\pi}{3}\).
