Страница 423 номер 1531, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(h\).

\(h = \dfrac{H(R - r)}{R},\)
\(V = \pi \cdot r^{2} \cdot \dfrac{H(R - r)}{R} = \dfrac{\pi H}{R}\left( Rr^{2} - r^{3} \right),\)
\(V'(r) = \dfrac{\pi H}{R}\left( 2Rr - 3r^{2} \right),\)
\(V'(r) = 0,\)
\(V'(r) > 0\) при \(0 < r < \frac{2R}{3}\), \(V'(r) < 0\) при \(\frac{2R}{3} < r < R\),
\(r_{0} = \frac{2R}{3}\) – точка максимума;
\(h = \dfrac{H\left( R - \frac{2R}{3} \right)}{R} = \dfrac{H}{3}.\)

Ответ: цилиндр имеет наибольший объём при \(r = \frac{2R}{3}\) и \(h = \frac{H}{3}\).