Страница 423 номер 1525, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Высота конуса – \(h\), радиус основания – \(r\).

\(r = \sqrt{R^{2} - (h - R)^{2}},\)
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\left( R^{2} - (h - R)^{2} \right)h =\)
\(= \dfrac{1}{3}\pi\left( R^{2} - h^{2} + 2hR - R^{2} \right)h = \dfrac{1}{3}\pi h\left( 2hR - h^{2} \right),\)
\(V'(h) = \dfrac{1}{3}\pi(2hR - h^{2} + h(2R - 2h)) = \dfrac{1}{3}\pi h(4R - 3h),\)
\(V'(h) = 0,\)
\(V'(h) > 0\) при \(0 < h < \frac{4R}{3}\), \(V'(h) < 0\) при \(\frac{4R}{3} < h < 2R\),
\(h_{0} = \frac{4R}{3}\) – точка максимума.

Ответ: высота конуса наибольшего объёма \(h = \frac{4R}{3}\).