Страница 424 номер 1538, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = \sqrt{x - 1}\) – синий график;
\(y = 3 - x\) – красный график; \(y = 0\) – зелёный график;

Найдём точки пересечения:

а) \(\sqrt{x - 1} = 3 - x\),

Область определения: \(x - 1 \geqslant 0\) и \(3 - x \geqslant 0\)

\(x - 1 = 9 - 6x + x^{2},\)
\(x^{2} - 7x + 10 = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2},\)
\(x_{1} = 5\) – не входит в область определения,
\(x_{2} = 2;\)

б) \(\sqrt{x - 1} = 0\),
\(x = 1;\)

в) \(3 - x = 0\),
\(x = 3;\)
\(S = \int_{1}^{2}{\sqrt{x - 1}dx} + \int_{2}^{3}{(3 - x)dx} =\)
\(= \left. \ \dfrac{2}{3}(x - 1)^{\frac{3}{2}} \right|_{1}^{2} + \left. \ \left( 3x - \dfrac{x^{2}}{2} \right) \right|_{2}^{3} =\)
\(= \dfrac{2}{3} + 9 - \dfrac{9}{2} - 6 + \dfrac{4}{2} = \dfrac{7}{6} = 1\dfrac{1}{6};\)

2) \(y = - \frac{1}{x}\) – синий график;
\(y = x^{2}\) – красный график;
\(y = \frac{x^{2}}{8}\) – зелёный график;

Найдём точки пересечения:

а) \(- \frac{1}{x} = x^{2}\)
\(x = - 1;\)

б) \(- \frac{1}{x} = \frac{x^{2}}{8}\)
\(x^{3} = - 8,\)
\(x = - 2;\)

в) \(x^{2} = \frac{x^{2}}{8}\)
\(x = 0;\)
\(S = \int_{-2}^{-1}{-\dfrac{1}{x}dx} + \int_{-1}^{0}{x^{2}dx} - \int_{-2}^{0}\dfrac{x^{2}}{8}dx =\)
\(= \left. \ - \ln x \right|_{-2}^{-1} + \left. \ \dfrac{x^{3}}{3} \right|_{-1}^{0} - \left. \ \dfrac{x^{3}}{24} \right|_{-2}^{0} =\)
\(= \ln 2 + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} = \ln 2.\)