Страница 423 номер 1529, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между радиусом основания и высотой расход жести будет наименьшим?
Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(h\).
\(S = 2\pi rh + 2\pi r^{2},\)
\(V = \pi r^{2}h,\)
\(S = \dfrac{2V + 2\pi r^{3}}{r},\)
\(S'(r) = \dfrac{6\pi r^{3} - 2V - 2\pi r^{3}}{r^{2}} = \dfrac{2\left( 2\pi r^{3} - V \right)}{r^{2}},\)
\(S'(r) = 0,\)
\(S'(r) < 0\) при \(0 < r < \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\), \(S'(r) > 0\) при \(r > \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\),
\(r_{0} = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\) – точка минимума;
\(\dfrac{r}{h} = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}}\ :\dfrac{V}{\pi\left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}} \right)^{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}} \cdot \left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}} \right)^{2} \cdot \dfrac{\pi}{V} = \dfrac{V\pi}{2\pi V} = \dfrac{1}{2}.\)
Ответ: Расход жести будет наименьшим при \(2r = h\).
