Страница 423 номер 1524, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(2h\).

\(h = \sqrt{R^{2} - r^{2}},\)
\(V = 2\pi r^{2}h = 2\pi r^{2}\sqrt{R^{2} - r^{2}},\)
\(V'(r) = 2\pi\left( 2r\sqrt{R^{2} - r^{2}} - \dfrac{r^{3}}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}} \right) = \dfrac{2\pi\left( 2rR^{2} - 3r^{3} \right)}{\sqrt{R^{2} - r^{2}}},\)
\(V'(r) = 0,\)
\(V'(r) > 0\) при \(0 < r < \sqrt{\frac{2}{3}}R\), \(V'(r) < 0\) при \(\sqrt{\frac{2}{3}}R < r < R\),
\(r_{0} = \sqrt{\frac{2}{3}}R\) – точка максимума.
\(h = \sqrt{R^{2} - \dfrac{2}{3}R^{2}} = \dfrac{R}{\sqrt{3}},\)
\(2h = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}.\)

Ответ: высота цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар \(R\) – \(\frac{2R}{\sqrt{3}}\).