10класс
Страница 423 номер 1530, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. Страница 423. Номер 1530
Задание / условие:
Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса \(R\), выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.
Решение:
Половина высоты призмы – \(h\).
\(S = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\left( R^{2} - h^{2} \right),\)
\(V = \dfrac{3\sqrt{3}}{4}\left( R^{2} - h^{2} \right)2h = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left( R^{2}h - h^{3} \right),\)
\(V'(h) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\left( R^{2} - 3h^{2} \right),\)
\(V'(h) = 0,\)
\(V'(h) > 0\) при \(0 < h < \frac{R}{\sqrt{3}}\), \(V'(h) < 0\) при \(\frac{R}{\sqrt{3}} < h < R\),
\(h_{0} = \frac{R}{\sqrt{3}}\) – точка максимума;
Ответ: Призма наибольшего объёма при высоте \(2h = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).
Решение подготовила Ольга Васильева, учитель математики первой категории
