Страница 423 номер 1527, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(h\).

\(h = \dfrac{p}{2} - 2r,\)
\(V = \pi r^{2}h = \pi r^{2}\left( \dfrac{p - 4r}{2} \right),\)
\(V'(r) = \pi r(p - 4r) - 2\pi r^{2} = \pi r(p - 6r),\)
\(V'(r) = 0,\)
\(V'(r) > 0\) при \(0 < r < \frac{p}{6}\), \(V'(r) < 0\) при \(\frac{p}{6} < r < \frac{p}{4}\),
\(r_{0} = \frac{p}{6}\) – точка максимума.
\(V\left( r_{0} \right) = \pi\left( \dfrac{p}{6} \right)^{2}\left( \dfrac{p - \frac{4p}{6}}{2} \right) = \dfrac{\pi p^{2}}{36} \cdot \dfrac{p}{6} = \dfrac{\pi p^{3}}{216}.\)

Ответ: \(V_{\max} = \frac{\pi p^{3}}{216}\).