Страница 423 номер 1518, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
На координатной плоскости даны точки \(A(3;\ -1)\) и \(D(4;\ -1)\). Рассматриваются трапеции, у которых отрезок \(AD\) является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на дуге параболы \(y = 1 - x^2\), заданной на отрезке \([-1;\ 1]\). Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
\(AD = 1,\)
\(BC \parallel AD,\)
Пусть \(B\left( -x;\ 1 - x^{2} \right)\), \(C\left( x;\ 1 - x^{2} \right)\) – вершины другого основания.
\(S(x) = \dfrac{1}{2}(AD + BC) \cdot h,\)
\(BC = 2x,\)
\(h = 1 + \left( 1 - x^{2} \right) = 2 - x^{2},\)
\(S(x) = \dfrac{1}{2}(1 + 2x)\left( 2 - x^{2} \right) =\)
\(= \dfrac{1}{2}\left( 2 - x^{2} + 4x - 2x^{3} \right) = 1 + 2x - \dfrac{x^{2}}{2} - x^{3},\)
\(S'(x) = 2 - x - 3x^{2},\)
\(S'(x) = 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{-6},\)
\(x = - 1\) или \(x = \frac{2}{3}\)
т.к. \(0 < x \leqslant 1\), то
\(S'(x) > 0\) при \(0 < x < \frac{2}{3}\), \(S'(x) < 0\) при \(\frac{2}{3} < x \leqslant 1\),
\(x = \frac{2}{3}\) – точка максимума.
\(S\left( \dfrac{2}{3} \right) = 1 + \dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{9} - \dfrac{8}{27} = \dfrac{27 + 36 - 6 - 8}{27} = \dfrac{49}{27} = 1\dfrac{22}{27}.\)
Ответ: наибольшая площадь \(S = 1\frac{22}{27}\).
