Страница 423 номер 1528, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(h\).

\(h = 2\sqrt{R^{2} - r^{2}},\)
\(V = \pi r^{2}2\sqrt{R^{2} - r^{2}} = 2\pi\sqrt{R^{2}r^{4} - r^{6}},\)

Наибольшее значение достигается в той же точке, что и у функции

\(f(r) = R^{2}r^{4} - r^{6}:\)
\(f'(r) = 4R^{2}r^{3} - 6r^{5},\)
\(f'(r) = 0,\)
\(f'(r) > 0\) при \(0 < r < \sqrt{\frac{2R^{2}}{3}}\), \(f'(r) < 0\) при \(\sqrt{\frac{2R^{2}}{3}} < r < R\),
\(r_{0} = \sqrt{\frac{2R^{2}}{3}}\) – точка максимума;
\(h = 2\sqrt{R^{2} - \dfrac{2R^{2}}{3}} = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}.\)

Ответ: цилиндр наибольшего объёма имеет радиус \(r = R\sqrt{\frac{2}{3}}\)

и высоту \(h = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).