Страница 423 номер 1519, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение
На координатной плоскости дана точка \(K(3;\ 6)\). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси \(Oy\) и лежат на дуге параболы \(y = 4x^2\), заданной на отрезке \([-1;\ 1]\), а точка \(K\) является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.
\(x \in [-1;\ 1],\)
\(A\left(-x;\ 4x^{2} \right)\) и \(B\left( x;\ 4x^{2} \right)\) – точки на дуге параболы.
Середина \(AB\) лежит на оси \(Oy\), а \(K\) – нет, поэтому \(K\) – середина \(BC\) (если \(K\) – середина \(AC\), площадь та же).
\(C\left( x_{c};\ y_{c} \right): 3 = \dfrac{x + x_{c}}{2}, x_{c} = 6 - x,\)
\(6 = \dfrac{4x^{2} + y_{c}}{2}, y_{c} = 12 - 4x^{2},\)
\(S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot \left( 12 - 4x^{2} - 4x^{2} \right) = 4\left( 3x - 2x^{3} \right),\)
\(S'(x) = 12 - 24x^{2},\)
\(S'(x) = 0,\)
\(1 - 2x^{2} = 0,\)
\(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},\)
т.к. \(0 < x \leqslant 1\), то
\(S'(x) > 0\) при \(0 < x < \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(S'(x) < 0\) при \(\frac{1}{\sqrt{2}} < x \leqslant 1\),
\(x = \frac{1}{\sqrt{2}}\) – точка максимума.
\(S\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( \dfrac{3}{\sqrt{2}} - \dfrac{2}{2\sqrt{2}} \right) = 4\sqrt{2}.\)
Ответ: максимальная площадь \(S = 4\sqrt{2}\).
