Страница 424 номер 1536, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(y = - \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\)

Область определения – \(x \in R\);

Область значений – \(y \leqslant 1\);

\(y(-x) = - \frac{x^{4}}{4} + x^{2}\) – чётная функция;
\(y(x) = 0,\)
\(x^{2}\left(-\dfrac{x^{2}}{4} + 1 \right) = 0,\)
\(x_{1} = 0, x_{2{,}3} = \pm 2\)
\(y'(x) = - x^{3} + 2x,\)
\(y'(x) = 0,\)
\(x\left(-x^{2} + 2 \right) = 0,\)
\(x_{1} = 0, x_{2{,}3} = \pm \sqrt{2}\)
\(y'(x) > 0\) при \(x < -\sqrt{2}\) и \(0 < x < \sqrt{2}\), \(y'(x) < 0\) при \(-\sqrt{2} < x < 0\) и \(x > \sqrt{2}\);
\(x = 0\) – точка минимума, \(y(0) = 0\);
\(x = \pm \sqrt{2}\) – точки максимума, \(y(\pm \sqrt{2}) = -1 + 2 = 1\);

2) \(y = x^{4} - 2x^{2} - 3\)

Область определения – \(x \in R\);

Область значений – \(y \geqslant -4\);

\(y(-x) = x^{4} - 2x^{2} - 3\) – чётная функция;
\(y(x) = 0,\)
\(x^{4} - 2x^{2} - 3 = 0,\)
\(x^{2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2},\)
\(x^{2} = 3\) или \(x^{2} = -1\) – корней нет,
\(x = \pm \sqrt{3},\)
\(y'(x) = 4x^{3} - 4x,\)
\(y'(x) = 0,\)
\(x\left( x^{2} - 1 \right) = 0,\)
\(x = 0\) или \(x = \pm 1\)
\(y'(x) < 0\) при \(x < -1\) и \(0 < x < 1\), \(y'(x) > 0\) при \(-1 < x < 0\) и \(x > 1\);
\(x = 0\) – точка максимума, \(y(0) = -3\);
\(x = 1\) и \(x = - 1\) – точки минимума, \(y(\pm 1) = 1 - 2 - 3 = -4\).