Страница 423 номер 1522, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Радиус основания цилиндра – \(r\), высота – \(h\).

\(V = \pi r^{2}h,\)
\(S = 2\pi rh + 2\pi r^{2},\)
\(h = \dfrac{V}{\pi r^{2}},\)
\(S = \dfrac{2\pi rV}{\pi r^{2}} + 2\pi r^{2} = \dfrac{2V}{r} + 2\pi r^{2},\)
\(S'(r) = - \dfrac{2V}{r^{2}} + 4\pi r = \dfrac{4\pi r^{3} - 2V}{r^{2}},\)
\(S'(r) = 0,\)
\(r = \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}},\)
\(S'(r) < 0\) при \(0 < r < \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\), \(S'(r) > 0\) при \(r > \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\),
\(S_{\min} = \dfrac{2V\sqrt[3]{2\pi}}{\sqrt[3]{V}} + 2\pi\left( \sqrt[3]{\dfrac{V}{2\pi}} \right)^{2} = 2\sqrt[3]{V^{2}}\sqrt[3]{2\pi} + \sqrt[3]{2\pi}\sqrt[3]{V^{2}} = 3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}.\)

Ответ: наименьшая площадь поверхности \(S_{\min} = 3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}\).