Страница 120 номер 514, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?
Дано:
\(a_1 = 13\) м — путь камня за первую секунду
\(d = 10\) м — на столько путь за каждую следующую секунду больше, чем за предыдущую
\(n = 5\) — число секунд
Найти: \(S_5\) — путь камня за первые 5 с.
Решение:
\(a_n\) — путь камня (в метрах) за \(n\)-ю секунду полёта; пока камень не достиг дна, \(a_{n+1} = a_n + 10\), поэтому \((a_n)\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 10\). Ущелье глубокое, и вопрос задан о первых 5 секундах полёта, поэтому считаем, что за это время камень дна не достигает, и путь камня за первые 5 секунд равен сумме первых пяти членов прогрессии: \[\begin{aligned} &S_5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 13 + 4 \cdot 10}{2} \cdot 5 = {} \\ &= \frac{26 + 40}{2} \cdot 5 = 33 \cdot 5 = 165. \end{aligned}\]
Проверка: за первые 5 секунд камень пролетает \(13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 165\) (м).
Ответ: 165 м.
Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 13 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?
Дано:
\(a_1 = 13\) м — путь камня за первую секунду
\(d = 10\) м — на столько путь за каждую следующую секунду больше, чем за предыдущую
\(n = 5\) — число секунд
Найти: \(S_5\) — путь камня за первые 5 с.
Решение:
Рассмотрим последовательность \((a_n)\), каждый член которой равен пути (в метрах), который камень пролетает за \(n\)-ю секунду полёта. По условию \(a_1 = 13\), а в каждую следующую секунду, пока камень не достиг дна, он пролетает на 10 м больше, чем в предыдущую: \(a_{n+1} = a_n + 10\). Следовательно, \((a_n)\) — арифметическая прогрессия с разностью \(d = 10\). Ущелье глубокое, и вопрос задан о первых 5 секундах полёта, поэтому считаем, что за это время камень дна не достигает. Тогда путь камня за первые 5 секунд равен сумме первых пяти членов этой прогрессии: \[\begin{aligned} &S_5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 13 + 4 \cdot 10}{2} \cdot 5 = {} \\ &= \frac{26 + 40}{2} \cdot 5 = 33 \cdot 5 = 165. \end{aligned}\]
Проверка: за первые 5 секунд камень пролетает \(13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 165\) (м).
Ответ: 165 м.
