Страница 126 номер 537, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В геометрической прогрессии \((b_n)\): \(b_1 = 3\), \(b_9 = 75\). Найдите \(b_5\).
\[b_5^2 = b_1 \cdot b_9 = 3 \cdot 75 = 225.\]
Корни уравнения: \(b_5 = -15\), \(b_5 = 15\).
\(q \ne 0\), поэтому \(q^4 = (q^2)^2 > 0\) и \(b_5 = b_1 \cdot q^4 = 3 \cdot q^4 > 0\): значение \(b_5 = -15\) не подходит. Следовательно, \(b_5 = 15\).
При этом \(q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{15}{3} = 5\) и \(b_9 = b_5 \cdot q^4 = 15 \cdot 5 = 75\), как и дано в условии.
Ответ: \(b_5 = 15\).
В геометрической прогрессии \((b_n)\): \(b_1 = 3\), \(b_9 = 75\). Найдите \(b_5\).
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух равноотстоящих от него членов: \(b_n^2 = b_{n-m} \cdot b_{n+m}\) при \(n > m\). При \(n = 5\) и \(m = 4\) получаем \[b_5^2 = b_1 \cdot b_9 = 3 \cdot 75 = 225.\] Уравнение \(b_5^2 = 225\) имеет два корня: \(b_5 = -15\), \(b_5 = 15\). По формуле \(n\)-го члена \(b_5 = b_1 \cdot q^4\), где \(q\) — знаменатель прогрессии, а \(q^4 = (q^2)^2 > 0\), так как \(q \ne 0\). Значит, \(b_5 = 3 \cdot q^4 > 0\), и значение \(b_5 = -15\) не подходит. Следовательно, \(b_5 = 15\). При этом \(q^4 = \frac{b_5}{b_1} = \frac{15}{3} = 5\) и \(b_9 = b_5 \cdot q^4 = 15 \cdot 5 = 75\), как и дано в условии.
Ответ: \(b_5 = 15\).
