Страница 120 номер 511, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все значения \(x\), при каждом из которых числа \(2x + 4\), \(2x^2 - 1\) и \(2x^2 - 2\) являются в указанном порядке последовательными членами арифметической прогрессии.
Данные числа являются последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда разность второго и первого из них равна разности третьего и второго: \[\begin{aligned} (2x^2 - 1) - (2x + 4) &= (2x^2 - 2) - (2x^2 - 1); \\ 2x^2 - 1 - 2x - 4 &= 2x^2 - 2 - 2x^2 + 1; \\ 2x^2 - 2x - 5 &= -1; \\ 2x^2 - 2x - 4 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\]
Проверка: при \(x = -1\) получаем числа \(2 \cdot (-1) + 4 = 2\), \(2 \cdot (-1)^2 - 1 = 1\) и \(2 \cdot (-1)^2 - 2 = 0\) — последовательные члены арифметической прогрессии с разностью \(-1\); при \(x = 2\) — числа \(2 \cdot 2 + 4 = 8\), \(2 \cdot 2^2 - 1 = 7\) и \(2 \cdot 2^2 - 2 = 6\), тоже с разностью \(-1\).
Ответ: \(-1\); \(2\).
Найдите все значения \(x\), при каждом из которых числа \(2x + 4\), \(2x^2 - 1\) и \(2x^2 - 2\) являются в указанном порядке последовательными членами арифметической прогрессии.
Числа \(2x + 4\), \(2x^2 - 1\) и \(2x^2 - 2\) являются в указанном порядке последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда каждое следующее из них получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа — разности прогрессии, то есть когда разность второго и первого чисел равна разности третьего и второго. Получаем уравнение; раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, перенесём все слагаемые в левую часть и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} (2x^2 - 1) - (2x + 4) &= (2x^2 - 2) - (2x^2 - 1); \\ 2x^2 - 1 - 2x - 4 &= 2x^2 - 2 - 2x^2 + 1; \\ 2x^2 - 2x - 5 &= -1; \\ 2x^2 - 2x - 4 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 - x - 2 &= 0; \\ D &= (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9; \\ x_1 &= \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1; \\ x_2 &= \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2. \end{aligned}\]
Проверка: при \(x = -1\) получаем числа \(2 \cdot (-1) + 4 = 2\), \(2 \cdot (-1)^2 - 1 = 1\) и \(2 \cdot (-1)^2 - 2 = 0\) — последовательные члены арифметической прогрессии с разностью \(-1\); при \(x = 2\) — числа \(2 \cdot 2 + 4 = 8\), \(2 \cdot 2^2 - 1 = 7\) и \(2 \cdot 2^2 - 2 = 6\), тоже последовательные члены арифметической прогрессии с разностью \(-1\).
Ответ: \(-1\); \(2\).
