Страница 119 номер 506, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все значения \(x\), при каждом из которых числа \(-6x^2\), \(x + 1\) и \(4x^2 + 14\) являются в указанном порядке последовательными членами арифметической прогрессии.
Числа \(a\), \(b\), \(c\) — последовательные члены арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда \(b - a = c - b\), то есть \(2b = a + c\): \[\begin{aligned} 2(x + 1) &= -6x^2 + (4x^2 + 14); \\ 2x + 2 &= -2x^2 + 14; \\ 2x^2 + 2x - 12 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 + x - 6 &= 0; \\ D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\]
Проверка: при \(x = -3\): \(-6 \cdot (-3)^2 = -54\), \(-3 + 1 = -2\), \(4 \cdot (-3)^2 + 14 = 50\);
\(-2 - (-54) = 52\) и \(50 - (-2) = 52\) — члены арифметической прогрессии с разностью 52.
При \(x = 2\): \(-6 \cdot 2^2 = -24\), \(2 + 1 = 3\), \(4 \cdot 2^2 + 14 = 30\);
\(3 - (-24) = 27\) и \(30 - 3 = 27\) — члены арифметической прогрессии с разностью 27.
Ответ: \(-3\); \(2\).
Найдите все значения \(x\), при каждом из которых числа \(-6x^2\), \(x + 1\) и \(4x^2 + 14\) являются в указанном порядке последовательными членами арифметической прогрессии.
Числа \(a\), \(b\), \(c\) являются в указанном порядке последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда \(b - a = c - b\). Действительно, у последовательных членов арифметической прогрессии каждая из разностей \(b - a\) и \(c - b\) равна разности прогрессии; обратно, если \(b - a = c - b = d\), то \(a\), \(b\), \(c\) — первые три члена арифметической прогрессии с первым членом \(a\) и разностью \(d\). Равенство \(b - a = c - b\) равносильно равенству \(2b = a + c\).
Для чисел \(-6x^2\), \(x + 1\) и \(4x^2 + 14\) это равенство даёт уравнение относительно \(x\). Раскроем скобки, приведём подобные слагаемые, перенесём все слагаемые в левую часть и разделим обе части на 2: \[\begin{aligned} 2(x + 1) &= -6x^2 + (4x^2 + 14); \\ 2x + 2 &= -2x^2 + 14; \\ 2x^2 + 2x - 12 &= 0; \qquad | : 2 \\ x^2 + x - 6 &= 0. \end{aligned}\] Найдём корни получившегося квадратного уравнения: \[\begin{aligned} D &= 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25; \\ x_1 &= \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = -3; \\ x_2 &= \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2. \end{aligned}\]
Проверка: при \(x = -3\) данные числа равны \(-6 \cdot (-3)^2 = -54\), \(-3 + 1 = -2\), \(4 \cdot (-3)^2 + 14 = 50\); так как \(-2 - (-54) = 52\) и \(50 - (-2) = 52\), это последовательные члены арифметической прогрессии с разностью 52. При \(x = 2\) данные числа равны \(-6 \cdot 2^2 = -24\), \(2 + 1 = 3\), \(4 \cdot 2^2 + 14 = 30\); так как \(3 - (-24) = 27\) и \(30 - 3 = 27\), это последовательные члены арифметической прогрессии с разностью 27.
Ответ: \(-3\); \(2\).
