Страница 120 номер 517, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В арифметической прогрессии третий член равен 5, а сумма первых 15 членов равна 525. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
\(a_3 = a_1 + 2d = 5\).
\(S_{15} = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = (a_1 + 7d) \cdot 15 = 525\), откуда \(a_1 + 7d = 35\).
Получаем систему: \[\begin{cases} a_1 + 2d = 5, \\ a_1 + 7d = 35. \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \(5d = 30\), откуда \(d = 6\). Тогда \(a_1 = 5 - 2d = 5 - 2 \cdot 6 = -7\).
Проверка: \(a_3 = -7 + 2 \cdot 6 = 5\);
\(a_{15} = -7 + 14 \cdot 6 = 77\), \(S_{15} = \frac{-7 + 77}{2} \cdot 15 = 35 \cdot 15 = 525\).
Ответ: \(a_1 = -7\); \(d = 6\).
В арифметической прогрессии третий член равен 5, а сумма первых 15 членов равна 525. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
Обозначим прогрессию \((a_n)\), её разность — \(d\). По формуле \(n\)-го члена \(a_3 = a_1 + 2d\), а по формуле суммы первых \(n\) членов \[S_{15} = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = (a_1 + 7d) \cdot 15.\] По условию \(a_3 = 5\) и \(S_{15} = 525\), поэтому \(a_1 + 2d = 5\) и \((a_1 + 7d) \cdot 15 = 525\), откуда \(a_1 + 7d = 35\). Получаем систему уравнений: \[\begin{cases} a_1 + 2d = 5, \\ a_1 + 7d = 35. \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения системы первое: \(5d = 30\), откуда \(d = 6\). Тогда \(a_1 = 5 - 2d = 5 - 2 \cdot 6 = -7\).
Проверка: \(a_3 = -7 + 2 \cdot 6 = 5\);
\(a_{15} = -7 + 14 \cdot 6 = 77\), \(S_{15} = \frac{-7 + 77}{2} \cdot 15 = 35 \cdot 15 = 525\).
Ответ: \(a_1 = -7\); \(d = 6\).
