Вопросы после параграфа §25 на странице 235, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

Сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии \((b_n)\), знаменатель \(q\) которой не равен 1, находят по формуле

\(S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\)

Здесь \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — её знаменатель, \(n\) — число складываемых членов. По этой формуле сумму вычисляют, не выписывая все члены: достаточно знать первый член, знаменатель и число членов.

Например, у геометрической прогрессии \(2, 6, 18, \ldots\) первый член \(b_1 = 2\), знаменатель \(q = 6 : 2 = 3\). По формуле находим сумму четырёх первых её членов:

\(S_4 = \dfrac{2 \cdot (3^4 - 1)}{3 - 1} = \dfrac{2 \cdot (81 - 1)}{2} = 80.\)

Сложение этих четырёх членов по порядку даёт то же число: \(2 + 6 + 18 + 54 = 80\).

Ответ: сумму находят по формуле \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\), где \(b_1\) — первый член прогрессии, \(q\) — её знаменатель (\(q \ne 1\)), \(n\) — число складываемых членов.

Если знаменатель геометрической прогрессии \(q = 1\), то каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на 1. Значит, все члены прогрессии равны первому члену \(b_1\), и сумма \(n\) первых членов состоит из \(n\) одинаковых слагаемых:

\(S_n = b_1 + b_1 + \ldots + b_1 = nb_1.\)

Формула \(S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\) к такой прогрессии неприменима: при \(q = 1\) знаменатель \(q - 1\) этой дроби равен нулю.

Например, у геометрической прогрессии \(7, 7, 7, \ldots\) первый член \(b_1 = 7\), знаменатель \(q = 1\), поэтому сумма шести первых её членов \(S_6 = 6 \cdot 7 = 42\).

Ответ: \(S_n = nb_1\), то есть сумма равна произведению первого члена прогрессии на число членов.