9класс
Страница 131 номер 482, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
Глава 2. Квадратичная функция. §13. Системы уравнений с двумя переменными. Страница 131. Номер 482
Задание / условие:
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что любая сумма нескольких из них не является квадратом натурального числа?
Решение:
Возьмём 100 чисел \(2,\ 2^{3},\ 2^{5},\ \ldots,\ 2^{199}\) – нечётные степени двойки.
Пусть \(2^{m}\) – наименьшее слагаемое суммы, \(m\) – нечётное. Показатели остальных слагаемых – нечётные числа, большие \(m\), поэтому эти слагаемые делятся на \(2^{m + 2}\) и сумма равна \(2^{m}(1 + 4n)\), где \(n\) – целое неотрицательное число.
Число \(1 + 4n\) нечётное, значит, двойка входит в разложение суммы на простые множители в нечётной степени \(m\). В разложение квадрата натурального числа каждый простой множитель входит в чётной степени, поэтому сумма не является квадратом натурального числа.
Ответ: Существуют.
Решение подготовила Екатерина Копова, учитель математики первой категории
