Страница 129 номер 464, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) \(\begin{cases} x^{3} + y^{3} = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x + y)\left( x^{2} - xy + y^{2} \right) = 1 \\ x + y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x^{2} - xy + y^{2} = 1 \\ x = 1 - y \end{cases}\)
\((1 - y)^{2} - y(1 - y) + y^{2} = 1\)
\(1 - 2y + y^{2} - y + y^{2} + y^{2} - 1 = 0\)
\(3y^{2} - 3y = 0\)
\(3y(y - 1) = 0\)
\(y_{1} = 0;\ x_{1} = 1 - 0 = 1\)
\(y_{2} = 1;\ x_{2} = 1 - 1 = 0\)

2) \(\begin{cases} x^{3} - y^{3} = 28 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 7 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x - y)\left( x^{2} + xy + y^{2} \right) = 28 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 7 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} (x - y) \cdot 7 = 28 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 7 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x - y = 4 \\ x^{2} + xy + y^{2} = 7 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 4 + y \\ x^{2} + xy + y^{2} = 7 \end{cases}\)
\(x^{2} + xy + y^{2} = 7\)
\((4 + y)^{2} + y(4 + y) + y^{2} - 7 = 0\)
\(16 + 8y + y^{2} + 4y + y^{2} + y^{2} - 7 = 0\)
\(3y^{2} + 12y + 9 = 0\)
\(y^{2} + 4y + 3 = 0\)
\((y + 1)(y + 3) = 0\)
\(y_{1} = - 1;\ x_{1} = 4 - 1 = 3\)
\(y_{2} = - 3;\ x_{2} = 4 - 3 = 1\)

3) \(\begin{cases} x^{2} - y^{2} = 7 \\ xy = 12 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} - \frac{144}{x^{2}} = 7 \\ y = \frac{12}{x} \end{cases}\ \Rightarrow \left| x^{2} = t \right| \Rightarrow \begin{cases} t - \frac{144}{t} = 7 \\ y = \frac{12}{x} \end{cases}\)
\(t^{2} - 144 = 7t\)
\(t^{2} - 7t - 144 = 0\)
\(D = 49 + 4 \cdot 144 = 49 + 576 = 625\)
\(t_{1} = \dfrac{7 - 25}{2} < 0\)
\(t_{2} = \dfrac{7 + 25}{2} = \dfrac{32}{2} = 16 \Rightarrow x^{2} = 16 \Rightarrow x = \pm 4 \Rightarrow y = \pm 3\)

4) \(\begin{cases} 3x^{2} - 2y^{2} = 19 \\ xy = - 6 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 3x^{2} - 2 \cdot \frac{36}{x^{2}} = 19 \\ y = - \frac{6}{x} \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \left| x^{2} = t \right| \Rightarrow \begin{cases} 3t - \frac{72}{t} = 19 \\ y = - \frac{6}{x} \end{cases}\)
\(3t^{2} - 72 = 19t\)
\(3t^{2} - 19t - 72 = 0\)
\(D = 361 + 4 \cdot 3 \cdot 72 = 361 + 864 = 1225 = 35^{2}\)
\(t_{1} = \dfrac{19 - 35}{6} = - \dfrac{16}{6} = - \dfrac{8}{3}\)
\(t_{2} = \dfrac{19 + 35}{6} = \dfrac{54}{6} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \Rightarrow y = \mp 2\)

Ответ: 1) \((1;\ 0);\ (0;\ 1)\); 2) \((3; - 1);\ (1; - 3)\); 3) \((4;\ 3);\ ( - 4; - 3)\); 4) \((3; - 2);\ ( - 3;\ 2)\).