Страница 130 номер 473, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a \\ |y| = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a \\ y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow x^{2} + 1 = a \Rightarrow x^{2} = a - 1\)
\(x^{2} < 0\) при \(a - 1 < 0 \Rightarrow a < 1\) нет решений
\(x^{2} = 0\) при \(a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1\) одно решение
\(x^{2} > 0\) при \(a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1\) два решения
\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a \\ y = - 1 \end{cases}\ \Rightarrow x^{2} + 1 = a \Rightarrow x^{2} = a - 1\)
\(x^{2} < 0\) при \(a - 1 < 0 \Rightarrow a < 1\) нет решений
\(x^{2} = 0\) при \(a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1\) одно решение
\(x^{2} > 0\) при \(a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1\) два решения

Суммируя: при \(a < 1\) нет решений, при \(a = 1\) два решения, при \(a > 1\) четыре решения.

2) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 9 \\ y = a - |x| \end{cases}\)

При \(a < - 3\) нет решений

При \(a = - 3\) одно решение

При \(- 3 < a < 3\) два решения

При \(a = 3\) три решения

Определим поведение ломаной относительно окружности при \(a > 3\)

\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 9 \\ y = a - |x| \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 9 \\ |x| = a - y \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 9 \\ x^{2} = (a - y)^{2} \end{cases}\)
\((a - y)^{2} + y^{2} = 9\)
\(a^{2} - 2ay + y^{2} + y^{2} - 9 = 0\)
\(2y^{2} - 2ay + a^{2} - 9 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = a^{2} - 2\left( a^{2} - 9 \right) = 18 - a^{2}\)
\(D < 0 \Rightarrow 18 - a^{2} < 0 \Rightarrow a^{2} > 18 \Rightarrow a > 3\sqrt{2};\ a < - 3\sqrt{2}\) нет решений

\(D = 0 \Rightarrow 18 - a^{2} = 0 \Rightarrow a = 3\sqrt{2}\) два решения

\(D > 0 \Rightarrow 18 - a^{2} > 0 \Rightarrow a^{2} < 18 \Rightarrow 3 < a < 3\sqrt{2}\) – 4 решения

3) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ xy = 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + \frac{16}{x^{2}} = a^{2} \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}\)
\(x^{2} + \dfrac{16}{x^{2}} - a^{2} = 0\)
\(x^{4} - a^{2}x^{2} + 16 = 0\)
\(D = a^{4} - 4 \cdot 16 = a^{4} - 64\)

Нет решений при

\(D < 0 \Rightarrow a^{4} - 64 < 0 \Rightarrow \left( a^{2} - 8 \right)\left( a^{2} + 8 \right) < 0 \Rightarrow - 8 < a^{2} < 8 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 0 \leqslant a^{2} < 8 \Rightarrow - 2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}\)

Два решения при

\(D = 0 \Rightarrow a^{4} = 64 \Rightarrow a = \pm 2\sqrt{2}\)

Четыре решения при

\(D > 0 \Rightarrow a^{4} > 64 \Rightarrow a > 2\sqrt{2};\ a < - 2\sqrt{2}\)