Страница 127 номер 457, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
1) Прямой \(3x - y = 1\) и параболы \(y = 3x^{2} + 8x - 3\)
\(\begin{cases} 3x - y = 1 \\ y = 3x^{2} + 8x - 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = 3x^{2} + 8x - 3 \end{cases}\)
\(3x - 1 = 3x^{2} + 8x - 3\)
\(3x^{2} + 5x - 2 = 0\)
\(D = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 + 24 = 49\)
\(x_{1} = \dfrac{- 5 - 7}{6} = - 2;\ y_{1} = 3 \cdot ( - 2) - 1 = - 7\)
\(x_{2} = \dfrac{- 5 + 7}{6} = \dfrac{1}{3};\ y_{2} = 3 \cdot \dfrac{1}{3} - 1 = 0\)
Точки пересечения \(( - 2; - 7);\left( \frac{1}{3};\ 0 \right)\)
2) Прямой \(2x - y = 2\) и гиперболы \(y = \frac{4}{x}\)
\(\begin{cases} 2x - y = 2 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases}\ \Rightarrow 2x - \dfrac{4}{x} = 2 \Rightarrow 2x^{2} - 4 = 2x;\ x \neq 0\)
\(2x^{2} - 2x - 4 = 0\)
\(x^{2} - x - 2 = 0\)
\(D = 1 + 4 \cdot 2 = 9\)
\(x_{1} = \dfrac{1 - 3}{2} = - 1;\ y_{1} = \dfrac{4}{- 1} = - 4\)
\(x_{2} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2;\ y_{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Точки пересечения \(( - 1; - 4);\ (2;\ 2)\)
3) Прямой \(x + y = 1\) и окружности \((x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 16\)
Прямая \(x + y = 1 \Rightarrow x - 1 = - y \Rightarrow x = 1 - y\)
\(( - y)^{2} + (y + 4)^{2} = 16\)
\(y^{2} + y^{2} + 8y + 16 - 16 = 0\)
\(2y^{2} + 8y = 0\)
\(2y(y + 4) = 0\)
\(y_{1} = 0;\ x_{1} = 1 - 0 = 1\)
\(y_{2} = - 4;\ x_{2} = 1 - ( - 4) = 5\)
Точки пересечения \((1;\ 0);\ (5; - 4)\)
4) Парабол \(y = x^{2} - 4x + 7\) и \(y = 3 + 4x - 2x^{2}\)
\(\begin{cases} y = x^{2} - 4x + 7 \\ y = 3 + 4x - 2x^{2} \end{cases}\ \Rightarrow x^{2} - 4x + 7 = 3 + 4x - 2x^{2}\)
\(x^{2} - 4x + 7 = 3 + 4x - 2x^{2}\)
\(3x^{2} - 8x + 4 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 16 - 12 = 4\)
\(x_{1} = \dfrac{4 - 2}{3} = \dfrac{2}{3};\ y_{1} = \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2} - 4 \cdot \dfrac{2}{3} + 7 = \dfrac{4}{9} - \dfrac{24}{9} + \dfrac{63}{9} = \dfrac{43}{9}\)
\(x_{2} = \dfrac{4 + 2}{3} = 2;\ y_{2} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 7 = 4 - 8 + 7 = 3\)
Точки пересечения \(\left( \frac{2}{3};\frac{43}{9} \right);\ (2;\ 3)\)
Ответ: 1) Точки пересечения \(( - 2; - 7);\left( \frac{1}{3};\ 0 \right)\); 2) Точки пересечения \(( - 1; - 4);\ (2;\ 2)\); 3) Точки пересечения \((1;\ 0);\ (5; - 4)\); 4) Точки пересечения \(\left( \frac{2}{3};\frac{43}{9} \right);\ (2;\ 3)\).
