Страница 130 номер 472, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка
1) \(\begin{cases} y = |x| \\ x^{2} + y = a \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = |x| \\ y = - x^{2} + a \end{cases}\)
Решим задачу графическим методом.
При \(a > 0\) два решения, при \(a = 0\) одно решение, при \(a < 0\) нет решений.
2) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ |x| = 4 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + y^{2} = a^{2} \\ x = \pm 4 \end{cases}\)
Окружность и две прямые.
При \(a < - 4\) или \(a > 4\) четыре решения, при \(a = - 4\) или \(a = 4\) два решения, при \(- 4 < a < 4\) нет решений.
3) \(\begin{cases} y - x = 1 \\ xy = a \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = x + 1 \\ x(x + 1) = a \end{cases}\)
\(x^{2} + x - a = 0\)
\(D = 1 + 4a\)
\(D < 0 \Rightarrow 1 + 4a < 0 \Rightarrow a < - \frac{1}{4}\) нет решений
\(D = 0 \Rightarrow 1 + 4a = 0 \Rightarrow a = - \frac{1}{4}\) одно решение
\(D > 0 \Rightarrow 1 + 4a > 0 \Rightarrow a > - \frac{1}{4}\) два решения
4) \(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y = x^{2} + a \end{cases}\)
При \(a > 2\) график параболы не пересекает график окружности, т.е. нет решений.
При \(a = 2\) парабола касается окружности, т.е. имеет одно решение.
При \(- 2 < a < 2\) парабола пересекает окружность в двух точках
При \(a = - 2\) парабола пересекает окружность в трех точках.
Определим поведение параболы относительно окружности при \(a < - 2\).
\(x^{2} + \left( x^{2} + a \right)^{2} = 4\)
\(x^{2} + x^{4} + 2ax^{2} + a^{2} - 4 = 0\)
\(x^{4} + (1 + 2a)x^{2} + a^{2} - 4 = 0\)
\(D = (1 + 2a)^{2} - 4 \cdot \left( a^{2} - 4 \right) =\)
\(= 1 + 4a + 4a^{2} - 4a^{2} + 16 = 4a + 17\)
\(D < 0\) нет корней при \(4a + 17 < 0 \Rightarrow a < - \frac{17}{4};\ a < - 4{,}25\)
\(D = 0 \Rightarrow a = - \dfrac{17}{4} \Rightarrow x^{2} = \dfrac{- (1 + 2a)}{2} = \dfrac{- \left( 1 + 2 \cdot \left( - \frac{17}{4} \right) \right)}{2} =\)
\(= \frac{- \left( 1 - \frac{17}{2} \right)}{2} = 3{,}75 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3{,}75}\) – два решения
\(D > 0 \Rightarrow 4a + 17 > 0 \Rightarrow a > - \frac{17}{4};\ a < - 2\) – 4 решения
