Проверь себя на страницах 132-133, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

\(x^{2} > 4\)
\(x^{2} - 4 > 0\) – ветви вверх
\((x - 2)(x + 2) > 0\)

\(x \in ( - \infty; - 2) \cup (2; + \infty)\)

Ответ: В) \(x < - 2\) или \(x > 2\).

\(x^{2} + 8x - 9 \geqslant 0\)
\((x - 1)(x + 9) \geqslant 0\)

\(x \in ( - \infty; - 9] \cup [ 1; + \infty)\)

Ответ: Б) \(( - \infty; - 9] \cup [ 1; + \infty)\).

\(3x^{2} + 5x - 8 < 0\)
\(D = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 25 + 96 = 121 = 11^{2}\)
\(x_{1} = \dfrac{- 5 - 11}{6} = - \dfrac{16}{6} = - \dfrac{8}{3}\)
\(x_{2} = \dfrac{- 5 + 11}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\)

\(x \in \left( - \dfrac{8}{3};\ 1 \right) \Rightarrow x \in \left( - 2\dfrac{2}{3};\ 1 \right) \Rightarrow x \in \{ - 2; - 1;\ 0\}\)

Ответ: А) 3 решения.

А) \(x^{2} - 14x + 49 > 0\)

\((x - 7)^{2} > 0\)
\(x \neq 7\)

Б) \(- 3x^{2} + x + 2 \leqslant 0\)

\(D = 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 > 0\) два корня

В) \(x^{2} - 3x + 4 > 0\)

\(D = 9 - 4 \cdot 4 < 0\) нет корней

Ветви направлены вверх.

\(x \in ( - \infty; + \infty)\)

Г) \(-x^{2} + 7x - 10 < 0\)

Ответ: В) \(x^{2} - 3x + 4 > 0\).

\(f(x) = \dfrac{5}{\sqrt{8x - 4x^{2}}}\)
\(8x - 4x^{2} > 0\)
\(- 4x^{2} + 8x > 0\)
\(- 4x(x - 2) > 0\)

\(x \in (0;\ 2)\)

Ответ: Г) \((0;\ 2)\).

А) \(x^{2} - 6x + 10 < 0\)

\(\frac{D}{4} = 9 - 10 < 0\) нет корней

Ветви направлены вверх.

\(x \in \varnothing\)

Б) \(- 5x^{2} + 3x + 2 > 0\)

В) \(- 3x^{2} + 8x + 3 < 0\)

Г) \(-x^{2} - 10x > 0\)

Ответ: А) \(x^{2} - 6x + 10 < 0\).

\(\begin{cases} y - x = 2 \\ xy - y = 10 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = x + 2 \\ x(x + 2) - x - 2 = 10 \end{cases}\)
\(x(x + 2) - x - 2 = 10\)
\(x^{2} + 2x - x - 2 - 10 = 0\)
\(x^{2} + x - 12 = 0\)
\((x - 3)(x + 4) = 0\)
\(x_{1} = 3;\ y_{1} = 3 + 2 = 5\)
\(x_{2} = - 4;\ y_{2} = - 4 + 2 = - 2\)
\(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} = 3 \cdot 5 + ( - 4) \cdot ( - 2) = 15 + 8 = 23\)

Ответ: А) 23.

\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 5 \\ xy = - 3 \end{cases}\)

График первого уравнения – окружность

График второго уравнения – гипербола

Ответ: В) окружность и гипербола.

Окружности

\((x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 10\)
\((x + 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 4\)

имеют 2 общие точки

Ответ: В) 2 точки.

Система уравнений имеет 2 решения.

Ответ: В) два решения.

\(\begin{cases} x - y = 5 \\ x^{2} + 2xy - y^{2} = - 7 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = x - 5 \\ x^{2} + 2x(x - 5) - (x - 5)^{2} = - 7 \end{cases}\)
\(x^{2} + 2x(x - 5) - (x - 5)^{2} = - 7\)
\(x^{2} + 2x^{2} - 10x - x^{2} + 10x - 25 + 7 = 0\)
\(2x^{2} - 18 = 0\)
\(x^{2} = 9\)
\(x_{1} = - 3 \Rightarrow y_{1} = - 3 - 5 = - 8 \Rightarrow x_{1} + y_{1} = - 3 - 8 = - 11\)
\(x_{2} = 3 \Rightarrow y_{2} = 3 - 5 = - 2 \Rightarrow x_{2} + y_{2} = 3 - 2 = 1\) – max

Ответ: А) 1.

\(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4 \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 9 \end{cases}\ \Rightarrow \left| \dfrac{1}{x} = t;\dfrac{1}{y} = k \right| \Rightarrow \begin{cases} 2t + k = 4 \\ t - 3k = 9 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 6t + 3k = 12 \\ t - 3k = 9 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 7t = 21 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{x} = 3 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}\)
\(t - 3k = 9 \Rightarrow k = \dfrac{t - 9}{3} = \dfrac{3 - 9}{3} = - 2 \Rightarrow \dfrac{1}{y} = - 2 \Rightarrow y = - \dfrac{1}{2}\)
\(x - y = \dfrac{1}{3} - \left( - \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6}\)

Ответ: Г) \(\frac{5}{6}\).

\(\begin{cases} 2x - xy = 5 \\ y + xy = 6 \end{cases}\ \Rightarrow 2x + y = 11 \Rightarrow y = 11 - 2x\)
\(2x - xy = 5\)
\(2x - x(11 - 2x) = 5\)
\(2x - 11x + 2x^{2} - 5 = 0\)
\(2x^{2} - 9x - 5 = 0\)
\(D = 81 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 81 + 40 = 121 = 11^{2}\)
\(x_{1} = \dfrac{9 - 11}{4} = - \dfrac{2}{4} = - \dfrac{1}{2};\ y_{1} = 11 - 2 \cdot \left( - \dfrac{1}{2} \right) = 12\)
\(x_{2} = \dfrac{9 + 11}{4} = \dfrac{20}{4} = 5;\ y_{2} = 11 - 2 \cdot 5 = 1\)
\(\left| x_{1}y_{1} - x_{2}y_{2} \right| = \left| - \dfrac{1}{2} \cdot 12 - 5 \cdot 1 \right| = | - 6 - 5| = 11\)

Ответ: Б) 11.

\(3x^{2} - bx + 3 = 0\)

Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант отрицателен.

\(D = b^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = b^{2} - 36 < 0\)
\(b^{2} - 36 < 0\)
\((b - 6)(b + 6) < 0\)
\(b \in ( - 6;\ 6)\)

Ответ: А) \(- 6 < b < 6\).

\(\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 25 \\ x - y = a \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x^{2} + (x - a)^{2} = 25 \\ y = x - a \end{cases}\)
\(x^{2} + (x - a)^{2} = 25\)
\(x^{2} + x^{2} - 2ax + a^{2} - 25 = 0\)
\(2x^{2} - 2ax + a^{2} - 25 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = a^{2} - 2\left( a^{2} - 25 \right) = a^{2} - 2a^{2} + 50 = 50 - a^{2}\)
\(\dfrac{D}{4} = 0\)
\(50 - a^{2} = 0\)
\(a = \pm \sqrt{50} = \pm 5\sqrt{2}\)

Ответ: Г) \(a = - 5\sqrt{2}\) или \(a = 5\sqrt{2}\).

\(ax^{2} - 4x + a \geqslant 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 4 - a^{2} = 0\)
\(a^{2} = 4\)
\(a = \pm 2\)

При \(a = 2 \Rightarrow 2x^{2} - 4x + 2 \geqslant 0 \Rightarrow x \in ( - \infty; + \infty)\)

При \(a = - 2 \Rightarrow - 2x^{2} - 4x - 2 \geqslant 0 \Rightarrow x = - 1\)

При \(a = 0 \Rightarrow - 4x \geqslant 0 \Rightarrow x \leqslant 0\) – решений бесконечно много.

Ответ: В) \(a = - 2\).

\(ax^{2} - 2x + a < 0\)

Неравенство не имеет решения, если \(a > 0,\ D \leqslant 0\)

\(\dfrac{D}{4} = 1 - a^{2}\)
\(1 - a^{2} \leqslant 0\)
\(a^{2} - 1 \geqslant 0\)
\(a^{2} \geqslant 1\)
\(a \leqslant - 1;\ a \geqslant 1\)

При \(a = 0 \Rightarrow - 2x < 0 \Rightarrow x > 0\) – решения есть.

Ответ: Б) \(a \geqslant 1\).

\(\begin{cases} 2x - y = a \\ y = x^{2} - 8 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = 2x - a \\ y = x^{2} - 8 \end{cases}\ \Rightarrow 2x - a = x^{2} - 8 \Rightarrow\)
\(x^{2} - 2x + a - 8 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 1 - (a - 8) = 0\)
\(1 - a + 8 = 0\)
\(a = 9\)

Ответ: Б) \(a = 9\).