Страница 128 номер 463, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Мерзляка

1) \(\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2{,}5 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \left| \frac{x}{y} = t \right| \Rightarrow \begin{cases} t + \frac{1}{t} = 2{,}5 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}\)
\(t + \dfrac{1}{t} = 2{,}5\)
\(t^{2} + 1 = 2{,}5t\)
\(t^{2} - 2{,}5t + 1 = 0\)
\(D = 6{,}25 - 4 = 2{,}25 = {1{,}5}^{2}\)
\(t_{1} = \dfrac{2{,}5 - 1{,}5}{2} = 0{,}5;\ t_{2} = \dfrac{2{,}5 + 1{,}5}{2} = 2\)
\(\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{1}{2} \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = 2x \\ 2x - 3 \cdot 2x = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = 2x \\ - 4x = 3 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} y = 2 \cdot \left( - \frac{3}{4} \right) \\ x = - \frac{3}{4} \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} y = - \frac{3}{2} \\ x = - \frac{3}{4} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \frac{x}{y} = 2 \\ 2x - 3y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 2y \\ 2 \cdot 2y - 3y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \cdot 3 \\ y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y = 3 \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} - \frac{x + y}{x - 2y} = \frac{15}{4} \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\)

Заменим \(\frac{x - 2y}{x + y}\) переменной \(t\), получим \(t - \frac{1}{t} = \frac{15}{4}\)

\(4t^{2} - 4 = 15t\)
\(4t^{2} - 15t - 4 = 0\)
\(D = 225 + 4^{3} = 225 + 64 = 289 = 17^{2}\)
\(t_{1} = \dfrac{15 - 17}{8} = - \dfrac{2}{8} = - \dfrac{1}{4};\ t_{2} = \dfrac{15 + 17}{8} = \dfrac{32}{8} = 4\)
\(\begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} = - \frac{1}{4} \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 4(x - 2y) = - (x + y) \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} 4x - 8y + x + y = 0 \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 5x - 7y = 0 \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 25x - 35y = 0 \\ 28x + 35y = 21 \end{cases}\)
\(\Rightarrow 53x = 21 \Rightarrow x = \dfrac{21}{53}\)
\(4x + 5y = 3 \Rightarrow y = \dfrac{3 - 4x}{5} = \dfrac{1}{5}\left( 3 - 4 \cdot \dfrac{21}{53} \right) = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{159 - 84}{53} = \dfrac{15}{53}\)
\(\begin{cases} \frac{x - 2y}{x + y} = 4 \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x - 2y = 4x + 4y \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} - 3x = 6y \\ 4x + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x = - 2y \\ 4 \cdot ( - 2y) + 5y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = - 2y \\ - 3y = 3 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x = - 2 \cdot ( - 1) \\ y = - 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 4 \\ \frac{1}{y} - \frac{2}{x} = 10 \end{cases}\ \Rightarrow \left| \frac{1}{x} = t;\frac{1}{y} = k \right| \Rightarrow \begin{cases} t + 4k = 4 \\ k - 2t = 10 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 8k + 2t = 8 \\ k - 2t = 10 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 9k = 18 \Rightarrow k = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{y} = 2 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\)
\(k - 2t = 10 \Rightarrow t = \dfrac{k - 10}{2} = \dfrac{2 - 10}{2} = - 4 \Rightarrow \dfrac{1}{x} = - 4 \Rightarrow x = - \dfrac{1}{4}\)

4) \(\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{10}{3} \\ x^{2} - y^{2} = 72 \end{cases}\)
\(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = \dfrac{10}{3} \Rightarrow \left| \dfrac{x}{y} = t \right| \Rightarrow t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{10}{3} \Rightarrow 3t^{2} + 3 = 10t \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 3t^{2} - 10t + 3 = 0\)
\(\dfrac{D}{4} = 25 - 9 = 16\)
\(t_{1} = \dfrac{5 - 4}{3} = \dfrac{1}{3};\ t_{2} = \dfrac{5 + 4}{3} = 3\)
\(\begin{cases} \frac{x}{y} = \frac{1}{3} \\ x^{2} - y^{2} = 72 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 3x = y \\ x^{2} - 9x^{2} = 72 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} 3x = y \\ - 8x^{2} = 72 \end{cases}\ \Rightarrow\) нет решения
\(\begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ x^{2} - y^{2} = 72 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 3y \\ 9y^{2} - y^{2} = 72 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 3y \\ 8y^{2} = 72 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x = 3y \\ y^{2} = 9 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = \pm 9 \\ y = \pm 3 \end{cases}\)

5) \(\begin{cases} 4(x - y)^{2} + 7(x - y) = 15 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}\)

Замена \(x - y\) переменной \(t\):

\(4(x - y)^{2} + 7(x - y) = 15\)
\(4t^{2} + 7t = 15\)
\(4t^{2} + 7t - 15 = 0\)
\(D = 49 + 4 \cdot 4 \cdot 15 = 49 + 240 = 289 = 17^{2}\)
\(t_{1} = \dfrac{- 7 - 17}{8} = - \dfrac{24}{8} = - 3;\ t_{2} = \dfrac{- 7 + 17}{8} = \dfrac{10}{8} = 1{,}25\)
\(\begin{cases} x - y = - 3 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = y - 3 \\ 2(y - 3) + 5y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = y - 3 \\ 2y - 6 + 5y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x = y - 3 \\ 7y = 7 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = 1 - 3 \\ y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = - 2 \\ y = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x - y = 1{,}25 \\ 2x + 5y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = y + 1{,}25 \\ 2(y + 1{,}25) + 5y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} x = y + 1{,}25 \\ 2y + 2{,}5 + 5y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x = y + 1{,}25 \\ 7y = - 1{,}5 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} x = - \frac{3}{14} + \frac{10}{8} = \frac{- 24 + 140}{14 \cdot 8} = \frac{116}{112} = \frac{58}{56} = \frac{29}{28} \\ y = - \frac{1{,}5}{7} = - \frac{3}{14} \end{cases}\)

6) \(\begin{cases} (x - y)^{2} + 2x = 35 + 2y \\ (x + y)^{2} + 2y = 3 - 2x \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} (x - y)^{2} + 2x - 2y - 35 = 0 \\ (x + y)^{2} + 2y + 2x - 3 = 0 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow |x - y = t;\ x + y = k| \Rightarrow \begin{cases} t^{2} + 2t - 35 = 0 \\ k^{2} + 2k - 3 = 0 \end{cases}\ \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \begin{cases} (t - 5)(t + 7) = 0 \\ (k - 1)(k + 3) = 0 \end{cases}\ \Rightarrow \begin{cases} t_{1} = 5;\ t_{2} = - 7 \\ k_{1} = 1;\ k_{2} = - 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 1 - x = 1 - 3 = - 2\)
\(\begin{cases} x - y = - 7 \\ x + y = - 3 \end{cases}\ \Rightarrow 2x = - 10 \Rightarrow x = - 5;\ y = - 3 - x = - 3 + 5 = 2\)
\(\begin{cases} x - y = 5 \\ x + y = - 3 \end{cases}\ \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = - 3 - x = - 3 - 1 = - 4\)
\(\begin{cases} x - y = - 7 \\ x + y = 1 \end{cases}\ \Rightarrow 2x = - 6 \Rightarrow x = - 3;\ y = 1 - x = 1 + 3 = 4\)

Ответ: 1) \(\left( - \frac{3}{4}; - \frac{3}{2} \right);\ (6;\ 3)\); 2) \(\left( \frac{21}{53};\frac{15}{53} \right);\ (2; - 1)\); 3) \(\left( - \frac{1}{4};\frac{1}{2} \right)\); 4) \((9;\ 3);\ ( - 9; - 3)\); 5) \(( - 2;\ 1);\left( \frac{29}{28}; - \frac{3}{14} \right)\); 6) \((3; - 2);\ ( - 5;\ 2);\ (1; - 4);\ ( - 3;\ 4)\).