Страница 121 номер 10.24, ГДЗ по геометрии за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 3. Перпендикулярность в пространстве. §10. Перпендикулярность прямой и плоскости. Страница 121. Номер 10.24

Задание / условие:

Параллельные прямые \(a\), \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости (рис. 10.30). На прямой \(a\) отметили точку \(D\) и провели через неё две прямые, одна из которых перпендикулярна прямой \(b\) и пересекает её в точке \(F\), а другая — перпендикулярна прямой \(c\) и пересекает её в точке \(E\). Докажите, что \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).

Рисунок 10.30:

Решение:

Точки \(D\) и \(F\) лежат на параллельных прямых \(a\) и \(b\), поэтому прямая \(DF\) лежит в плоскости этих прямых. В плоскости прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой; поскольку \(DF \perp b\), то \(DF \perp a\). Аналогично в плоскости параллельных прямых \(a\) и \(c\) из \(DE \perp c\) следует \(DE \perp a\).

Прямые \(DF\) и \(DE\) пересекаются в точке \(D\) и различны. Действительно, иначе точки \(D\), \(E\), \(F\) лежали бы на одной прямой, и точка \(E\) лежала бы в плоскости прямых \(a\) и \(b\). В этой плоскости через точку \(E\) проходит прямая, параллельная прямой \(a\), а в пространстве через точку \(E\) проходит только одна такая прямая — прямая \(c\). Тогда прямая \(c\) лежала бы в плоскости прямых \(a\) и \(b\), а по условию прямые \(a\), \(b\) и \(c\) не лежат в одной плоскости. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(a \perp DEF\).

Прямые \(b\) и \(c\) параллельны прямой \(a\), поэтому по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости, \(b \perp DEF\) и \(c \perp DEF\). Прямая \(EF\) лежит в плоскости \(DEF\), значит, по определению прямой, перпендикулярной плоскости, \(EF \perp b\) и \(EF \perp c\).

график